Division

Fachbegriffe
Schriftliches Dividieren
Rechenprobe
Dividieren mit Rest
Division negativer Zahlen
Primzahlen

 
Fachbegriffe

Das Teilen einer Zahl durch eine andere nennt man Division. Geteilt wird der Dividend durch den Divisor.
Das Ergebnis einer Division heißt Quotient.

 
Schriftliches Dividieren

Wenn man schriftlich dividiert, beginnt man mit der höchsten Stelle des Dividenden.

\(
\begin{align}
&\phantom{0}9872 ∶ 8 = 1234\\
&\underline{−8}\\
&\phantom{0}18\\
&\underline{−16}\\
&\phantom{00}27\\
&\phantom{0}\underline{−24}\\
&\phantom{000}32\\
&\phantom{00}\underline{−32}\\
&\phantom{0000}0\\
\end{align}
\)

Sprechweise:
8 geht 1-mal in 9, man schreibt 1 ins Ergebnis!
1 · 8 ist 8, man rechnet 9 − 8 = 1!
Man schreibt die 1, dann holt man die 8 herunter!
8 geht 2-mal in 18, man schreibt 2 ins Ergebnis!
2 · 8 ist 16, man rechnet 18 − 16 ist 2!
Man schreibt die 2 und holt die 7 herunter! usw.

Ist die höchste Stelle des Dividenden kleiner als der Divisor, beginnt man mit den ersten beiden Stellen des Dividenden.

\(
\begin{align}
&\phantom{0}5632 ∶ 8 = 704\\
&\underline{−56}\\
&\phantom{00}032\\
&\phantom{00}\underline{−32}\\
&\phantom{0000}0\\
\end{align}
\)

Sprechweise:
8 passt nicht in 5, also 56 ∶ 8.
8 geht 7-mal in 56, man schreibt ins Ergebnis 7!
7 ∙ 8 ist 56, man rechnet 56 − 56 = 0!
Man holt die 3 herunter!
8 geht 0-mal in 3, man schreibt ins Ergebnis 0!
Man holt die 2 dazu = 32 ∶ 8.
8 geht 4-mal in 32, man schreibt ins Ergebnis 4!
4 ∙ 8 ist 32, man rechnet 32 − 32 = 0!

Die Zahl 0 in der Division
0 ist durch jede Zahl teilbar. Das Ergebnis dieser Division ist immer 0!
Beispiel: 0 ∶ 123 = 0
Es ist aber verboten, eine Zahl durch 0 zu teilen!
Beispiel: 123 ∶ 0 = verboten!!!

Dividieren durch 1
Ist der Divisor 1, ändert sich der Wert des Quotienten nicht.
Beispiel: 23 ∶ 1 = 23

Dividieren einer Zahl durch sich selbst
Dividiert man eine Zahl durch sich selbst, ist das Ergebnis immer 1.
Beispiel: 23 ∶ 23 = 1

 
Rechenprobe

Um das Ergebnis zu überprüfen, kann man unterschiedliche Proben machen.
Für die erste Probe multipliziert man das Ergebnis mit dem Divisor. Wenn man richtig gerechnet hat, erhält man den Dividenden.
Bei der zweiten Probe teilt man den Dividenden durch das Ergebnis, um den Divisor zu erhalten.

Probe auf den Dividenden
276 ∶ 12 = 23
Probe:
23 ∙ 12 = 276

Probe auf den Divisor
276 ∶ 12 = 23
Probe:
276 ∶ 23 = 12

 
Dividieren mit Rest

Beim schriftlichen Dividieren gibt es Aufgaben, bei denen ein Rest überbleibt.
Das heißt, dass der Dividend nicht vollständig durch den Divisor teilbar ist.
Man rechnet dann die Aufgabe so weit, bis eine letzte Zahl übrig bleibt, die man nicht mehr durch den Divisor teilen kann.
Diese Zahl nennt man den Rest.

Beispiel:

\(
\begin{align}
&\phantom{0} 5633 ∶ 8 = 704 \phantom{0}\text{Rest}\phantom{0} 1\\
&\underline{−56}\\
&\phantom{00}033\\
&\phantom{00}\underline{−32}\\
&\phantom{0000}1\\
\end{align}
\)

Probe:

\(
\begin{align}
&\phantom{}\underline{704 \cdot 8}\\
&\phantom{}56\\
&\phantom{00}0\\
&\phantom{00}{32}\\
&\overline{5632}\\
\end{align}
\)

$\Rightarrow$ 5632 + 1 = 5633

 
Division negativer Zahlen

Zusammenkommen von Rechenzeichen und Vorzeichen

+ + $\Rightarrow$ +     (+2) (+2) = 2 2 = 1     „Plus“ durch „plus“ gibt „plus“!    
+ $\Rightarrow$     (+2) (2) = 2 (2) = 1     „Plus“ durch „minus“ gibt „minus“!    
+ $\Rightarrow$     (2) (+2) = (2) 2 = 1    „Minus“ durch „plus“ gibt „minus“!    
$\Rightarrow$ +    (2) (2) = 2 2 = 1     „Minus“ durch „minus“ gibt „plus“!    

Division von zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen
Die Zahlen werden dividiert und erhalten das positive Vorzeichen.
Beispiele:
(+56) ∶ (+7) = (+8)
(−56) ∶ (−7) = (+8)

Division von zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen
Man dividiert die Beträge.
Das Ergebnis bekommt das negative Vorzeichen.
Beispiel:
(+56) ∶ (−7) = (−8)
(−56) ∶ (+7) = (−8)

 
Primzahlen

Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Die Zahl 1 ist keine Primzahl. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw. sind z. B. Primzahlen.
Es gibt unendlich viele Primzahlen, wobei sie nicht in logischer Reihenfolge auf dem Zahlenstrahl auftauchen.
Man kann jede Zahl durch das Produkt aus Primzahlen darstellen. Die eindeutige Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren nennt man Primfaktorzerlegung.

Beispiel:
56 = 7 ∙ 8 = 7 ∙ 2 ∙ 2 ∙2
Die Zahl 56 lässt sich also durch die Primzahlen 7 und 2 darstellen.
44 = 11 ∙ 4 = 11 ∙ 2 ∙ 2
Die Zahl 44 lässt sich also durch die Primzahlen 11 und 2 darstellen.

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