Einheitswürfel

Definition des Einheitswürfels
Gebrauch des Einheitswürfels

 
Definition des Einheitswürfels

Als Einheitswürfel wird ein Würfel mit der Kantenlänge 1 LE (beliebige Längeneinheit) bezeichnet.
Hierbei ist es zunächst nicht von Belang, welche Einheit die Kantenlänge hat.

Ein Einheitswürfel der Kantenlänge 1 LE hat zudem das Volumen:

$V_{\text{Einheitswürfel}}=a^3=(1 \text{ LE})^3 = 1 \text{ VE}$
Die Einheit [VE] = [LE³] steht für eine beliebige Volumeneinheit.

Ein Einheitswürfel hat auch eine Oberfläche. Diese lässt sich berechnen durch:

$O_{\text{Einheitswürfel}}=6 \cdot a^2=6 \cdot (1\text{ LE})^2 = 6 \text{ FE}$
Die Einheit [FE] = [LE²] steht für eine beliebige Flächeneinheit.

Beispiel:
Einheitswürfel mit Kantenlänge: a = 1 cm

$V_{\text{Einheitswürfel}}=a^3=(1  cm)^3 = 1 cm³$

$O_{\text{Einheitswürfel}}=6 \cdot a^2=6\cdot(1 cm)^2 = 6 cm²$

 
Gebrauch des Einheitswürfels

Der Einheitswürfel wird verwendet, um Volumina von einfachen Körpern durch geschicktes Anordnen der Würfel zu bestimmen.
Dabei wird versucht, den Rauminhalt des zu betrachtenden Körpers mit Einheitswürfeln komplett auszufüllen.

Beispiel 1:
Frage: Welches Volumen hat der Quader?
Rechnung:
Wir füllen den Quader mit Einheitswürfeln der Kantenlänge 1 cm.
– Die unterste Schicht hat genau 4 ∙ 6 = 24 Einheitswürfel.
– Es passen genau 4 Schichten aufeinander.
– Es passen genau 24 ∙ 4 = 96 Einheitswürfel in den Quader.
– $V_{\text{Quader}}=96 \cdot V_{\text{ Einheitswürfel}} = 96 \cdot 1 cm^3 = 96 cm³$.

Es können auch Volumina von komplizierteren Körpern durch die Einheitswürfel bestimmt werden.

Beispiel 2:
Frage: Welches Volumen hat der dargestellte Körper?

Rechnung: Der Körper wird wie in der Zeichnung in Einheitswürfel der Kantenlänge 1 cm aufgeteilt. Nun zählen wir, wie viele Einheitswürfel den Körper ausfüllen.
– Der Körper besteht aus zwei Treppen.
– Die Grundseite einer Treppe besteht aus 2 ∙ 4 = 8 Würfeln.
– Die Schicht darüber besteht aus 2 ∙ 3 = 6 Würfeln.
– Die vorletzte Schicht besteht aus 2 ∙ 2 = 4 Würfeln.
– Die letzte Schicht besteht aus 2 ∙ 1 = 2 Würfeln.
– Eine der beiden Treppen besteht aus 8 + 6 + 4 + 2 = 20 Würfeln
– Der Körper besteht also aus 2 ∙ 20 = 40 Würfeln.
Das Gesamtvolumen ist also: $V_{\text{ Körper}} = 40 \cdot V_{\text{ Einheitswürfel}}= 40 \cdot 1 cm^3 = 40 cm³$

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