Gleichungen

Definition und Fachbegriffe
Lösungsverfahren

 
Definition und Fachbegriffe

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck: Beide Seiten links und rechts des Gleichheitszeichens haben denselben Wert.

Beispiel:
$8 \cdot (12 – 6) = 57 – 9$

Innerhalb der Gleichungen können auch Größen stehen, deren Wert zu Beginn unbekannt ist. Dabei spricht man von Variablen oder auch Unbekannten.
Deren Wert muss man so bestimmen, dass die Gleichung der Wahrheit entspricht und links und rechts erneut derselbe Wert entsteht.

Beispiel:
$8 \cdot (x – 6) = 57 – 9$

Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn für $x = 12$ eingesetzt wird. Somit besitzt die Gleichung die Lösungsmenge : ${L}=\text{{12}}$

Nicht bei jeder Gleichung ist von Anfang an ersichtlich, welche Zahl die Gleichung löst. Durch Ausprobieren kann man teilweise schnell auf eine Lösung kommen.
Wenn die Gleichung deutlich komplizierter aufgebaut ist, gibt es verschiedene Verfahren, mit deren Hilfe man die Gleichung so umzuformen kann, dass man den Wert für die unbekannte Größe direkt ablesen kann.
Die Gleichheit der Gleichung, also ihr Wahrheitsgehalt, darf dabei nicht verändert werden.

 
Lösungsverfahren

Grundsätzlich besteht der erste Schritt immer darin, die Ausdrücke links und recht des Gleichheitszeichens so weit wie möglich zu vereinfachen. Dazu gehört das Auflösen von Klammern und das Zusammenfassen gleichartiger Summanden.

Ausmultiplizieren

Beispiel:

$4(x – 5)$

$=$

$5(–3x + 1)$

$\mid \text{Ausmultiplizieren auf beiden Seiten}$

$4x – 20$

$=$

$–15x + 5$

Zusammenfassen von Zahlen und Variablen

Beispiel:

$7x – 130 + 5x + 11$

$=$

$–20x – 17$

$\mid \text{Zusammenfassen von Zahlen und Variablen}$

$7x + 5x – 13 + 11$

$=$

$–20x – 17$

$\mid \text{Ausrechnen}$

$12x – 2$

$=$

$–20x – 17$

Innerhalb der nächsten Schritte soll die Gleichung so umgeformt werden, dass auf einer Seite nur noch die Variable (x oder y) steht und auf der anderen Seite nur noch eine Zahl. Gelingt das, kann die Variablen direkt abgelesen werden. Dafür nutzt man beidseitige Rechenoperationen.

Beidseitige Rechenoperation

Hierbei können alle „störenden“ Elemente (Summanden und Faktoren) beseitigt, d.h. besser gesagt auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden, indem man auf beiden Seiten der Gleichung eine Operation anwendet, die den störenden Summanden oder den störenden Faktor verschwinden lässt.

Beispiel:

$3x – 17$

$=$

$– 2x + 3$

$\mid \text{Addieren von 17}$

$3x – 17 + 17$

$=$

$– 2x + 3+17$

$\mid \text{Ausrechnen}$

$3x$

$=$

$– 2x + 20$

$\mid \text{Addieren von 2x}$

$3x + 2x$

$=$

$– 2x + 20 + 2x$

$\mid \text{Ausrechnen}$

$5x$

$=$

$20$

$\mid \text{Teilen durch 5}$

$\frac{5x}{5}$

$=$

$\frac{20}{5}$

$\mid \text{Ausrechnen}$

$x$

$=$

$4$

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