Mischkörper

Definition eines Mischkörpers
Volumen eines Mischkörpers
Oberfläche eines Mischkörpers

 
Definition eines Mischkörpers

Ein Mischkörper ist ein Körper, der aus anderen Grundkörpern zusammengebaut ist.
Er besteht also aus Prismen, Quadern, Würfeln, Zylindern, Pyramiden, Kegeln und Kugeln.
Möchte man das Volumen eines Mischkörpers berechnen, ist es wichtig, zuerst die Grundkörper zu erkennen.

 

Volumen eines Mischkörpers

Das Volumen eines Mischkörpers lässt sich ganz leicht berechnen durch die Summe der Volumina der Grundkörper.

Beispiel:
Frage: Wie groß ist das Volumen der abgebildeten Kirche?

Rechnung:
Die Kirche ist aufgebaut aus einem würfelförmigen Grundbau, auf dem eine Halbkugel sitzt.
Der Turm der Kirche ist durch einen Quader und eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche als Dach gegeben.
Das Volumen lässt sich also bestimmen durch:

$V_{\text{Kirche}}=(V_{\text{Würfel}}+\frac{1}{2} \cdot V_{\text{Kugel}})+(V_{\text{Quader}}+V_{\text{Pyramide}})$

Jetzt berechnen wir die einzelnen Volumina:

$V_{\text{Würfel}}=(2\text{a})^3=(35 \text{m})^3=42875 \text{m}³$

$V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3} \text{πr}^3=\frac{4}{3} \text{π} \cdot 2\text{a}^3=\frac{4}{3} \text{π} \cdot (17,5 \text{m})^3≈22449 \text{m}³$

$V_{\text{Quader}}=G_{\text{Turm}} \cdot \text{h}_{\text{Turm}}=\text{b}^2 \cdot \text{h}_{\text{Turm}}=(3 \text{m})^2 \cdot 15\text{m}=135 \text{m}³$

$V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3} G_{\text{Dach}} \cdot \text{h}_{\text{Dach}}=\frac{1}{3} G_{\text{Turm}} \cdot \text{h}_{\text{Dach}}=\frac{1}{3} \text{b}^2 \cdot \text{h}_{\text{Dach}}=\frac{1}{3} \cdot (3 \text{m})^2 \cdot 4 \text{m}=12 \text{m}³$

Das Volumen der ganzen Kirche ist also gegeben durch:

$V_{\text{Kirche}}=(42875+\frac{1}{2} \cdot 22449+135+12) \text{m}^3=54246,5 \text{m}³$

 
Oberfläche eines Mischkörpers

Die Oberfläche eines Mischkörpers ist in der Regel nicht so leicht zu bestimmen, wie sein Volumen.
Das Vorgehen ist aber ähnlich. Zuerst ist es wichtig, die Grundkörper auszumachen.
Die gesamte Oberfläche ist aber NICHT die Summe der einzelnen Oberflächen der Grundkörper, da Teilflächen von anderen Körpern überdeckt werden und somit nicht mehr zur Oberfläche gehören.
Diese überdeckten Flächen muss man von der Summe der einzelnen Oberflächen abziehen.

Beispiel:
Wir betrachten wieder die Abbildung der Kirche aus dem vorherigen Beispiel.
Frage: Welche Oberfläche hatte das Gebäude, als der Turm noch nicht fertig gebaut worden war?
Rechnung:
Als der Turm noch nicht fertig gebaut worden war, bestand die Kirche nur aus einem Würfel und einer Halbkugel.

Zuerst berechnet man die Oberfläche der einzelnen Körper:

$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot (22\text{a})^2=6 \cdot (35m)^2=7350 \text{m}² $

$O_{\text{Kugel}}=4\text{πr}^2=4\text{π}\text{a}^2=4\text{π} \cdot (17,5)^2≈3848 \text{m}² $

Der Würfel steht mit einer Seite auf dem Boden. Außerdem verdeckt die Halbkugel einen Anteil der oberen Seite des Würfels in Form eines Kreises.

Das bedeutet, wir haben eine Würfelseite und eine Kreisscheibe mit Radius r = 17,5 m zu viel berechnet.

$A_{\text{Würfel}}=(22\text{a})^2=(35 \text{m})^2=1225 \text{m}²$

$A_{\text{Kreis}}= \text{πr}^2= \text{π}\text{a}^2= \text{π} \cdot (17,5 \text{m})^2≈962 \text{m}² $

Die gesamte Oberfläche lässt sich berechnen durch:

$O_\text{Ges}=O_{\text{Würfel}}+\frac{1}{2} \cdot O_{\text{Kugel}}-A_{\text{Würfel}}-A_{\text{Kreis}}=(7350+\frac{1}{2} \cdot 3848-1225-962) \text{m}^2=7087 \text{m}²$

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