Proportionalität

Direkte Proportionalität
Direkt proportionaler Dreisatz
Indirekte Proportionalität
Indirekt proportionaler Dreisatz
Zusammengesetzter Dreisatz
Unterbrochener Dreisatz

 
Direkte Proportionalität
Direkt proportionale Zuordnung

Wenn zwei Zahlen immer im gleichen Maß wachsen oder schrumpfen, sind sie einander direkt proportional zugeordnet. Sie verändern sich immer im gleichen Verhältnis zueinander.

 
Regeln für die direkte Proportionalität

1. Wenn die eine Größe verdoppelt wird, dann wird auch die andere Größe verdoppelt.
Wird die Größe verdreifacht oder vervierfacht, dann wird auch die andere Größe verdreifacht oder vervierfacht.
2. Wird die eine Größe halbiert, dann wird auch die andere Größe halbiert.
Wenn die eine Größe durch 3 oder eine andere Zahl geteilt wird, wird die andere Größe auch durch 3 oder durch die gleiche andere Zahl geteilt.
3. Werden zwei Größen addiert, so werden auch die zugeordneten Größen addiert.
4. Werden zwei Größen subtrahiert, so werden auch die zugeordneten Größen subtrahiert.

 
Direkt proportionaler Dreisatz

Wenn zwei Größen zueinander direkt proportional sind, dann gilt immer Quotientengleichheit. Das bedeutet, dass
• der Quotient aus der Zahl und der zugeordneten Zahl immer gleich ist und
• der Quotient aus der zugeordneten Zahl und der Zahl auch immer gleich ist.

Beispiel:

Möchte man also überprüfen, ob zwei Größen zueinander direkt proportional sind, ist es sinnvoll die Quotientengleichheit zu überprüfen.

Wenn eine Zuordnung direkt proportional ist und man zwei einander zugeordnete Größen kennt, kann man für jede andere Größe dieses Dreisatzes die ihr zugeordnete Größe berechnen.

Beispiel:

Sprechweise:
Drei Äpfeln ist der Preis von 1,50 € zugeordnet.
Ein Apfel ist 3 ∶ 3 Äpfel. Ein Apfel kostet 1,50 € ∶ 3 = 0,50 €.
Fünf Äpfel sind 5 ∙ 1 Apfel. Fünf Äpfel kosten 5 ∙ 0,50 € = 2,50 €.

 
Indirekte Proportionalität
Indirekt proportionale Zuordnung

Wenn von zwei Zahlen die eine in dem Maße schrumpft, in dem die andere steigt, sind die Zahlen einander indirekt proportional zugeordnet. Verändert man die eine Größe, dann verändert sich die andere im umgekehrten Verhältnis.

 
Regeln für die indirekte Proportionalität

1. Wird die eine Größe verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht …), dann wird die andere Größe halbiert (gedrittelt, geviertelt …).

Sprechweise:
1 ist indirekt proportional zu 18.
2 ist 2 ∙ 1. Der 2 ist also 18 ∶ 2 = 9 zugeordnet.
3 ist 3 ∙ 1. Der 3 ist also 18 ∶ 3 = 6 zugeordnet.

2. Wird die eine Größe halbiert (gedrittelt, geviertelt …), dann wird die andere Größe verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht …).

Sprechweise:
12 ist indirekt proportional zu 2.
6 ist 12 ∶ 2. Der 12 ist also 2 ∙ 2 = 4 zugeordnet.
4 ist 12 ∶ 3. Der 4 ist also 2 ∙ 3 = 6 zugeordnet.

 
Indirekt proportionaler Dreisatz

Wenn zwei Größen zueinander indirekt proportional sind, dann gilt immer Produktgleichheit. Das bedeutet, dass das Produkt aus der Zahl und der zugeordneten Zahl immer gleich ist.

Beispiel:

Möchte man also überprüfen, ob zwei Größen zueinander indirekt proportional sind, ist es sinnvoll die Produktgleichheit zu überprüfen.
Wenn eine Zuordnung indirekt proportional ist und man zwei einander zugeordnete Größen kennt, kann man für jede andere Größe dieses Dreisatzes die ihr zugeordnete Größe berechnen.

Beispiel:

Sprechweise:
3 Arbeitern ist die Zeit von 5 Stunden zugeordnet.
1 Arbeiter ist 3 ∶ 3 Arbeiter, der 5 ∙ 3 = 15 Stunden braucht.
5 Arbeiter sind 5 ∙ 1 Arbeiter, die 15 ∶ 5 = 3 Stunden brauchen.

 
Zusammengesetzter Dreisatz

Zusammengesetzte Dreisätze werden mit zwei Dreisatzrechnungen berechnet.

Beispiel 1:
2 Arbeiter brauchen für 5 Werkstücke 3 Tage. Wie lange brauchen 6 Arbeiter für 5 Werkstücke?

Sprechweise:
2 Arbeiter schaffen 5 Werkstücke.
1 Arbeiter ist 2 ∶ 2 Arbeiter, der 5 ∶ 2 = 2,5 Werkstücke schafft.
6 Arbeiter sind 6 ∙ 1 Arbeiter, die 2,5 ∙ 6 = 15 Werkstücke schaffen.

 

Beispiel 2:
15 Werkstücke werden in 3 Tagen hergestellt. In wie vielen Tagen werden 5 Werkstücke hergestellt?

Sprechweise:
15 Werkstücke werden in 3 Tagen hergestellt.
1 Werkstück ist 15 ∶ 15 Werkstücke, das in 3 ∶ 15 = 0,2 Tagen hergestellt wird.
5 Werkstücke sind 5 ∙ 1 Werkstücke, die in 0,2 ∙ 5 = 1 Tag hergestellt wird.

 
Unterbrochener Dreisatz

Beim unterbrochenen Dreisatz muss man zunächst einen neuen Ausgangspunkt berechnen.

Beispiel:
15 Pferde fressen in 7 Tagen den Heuvorrat leer. Nach 3 Tagen kommen fünf Pferde hinzu. Wie lange reicht der Heuvorrat jetzt?

Neuer Ausgangspunkt: Nach 3 Tagen reicht der Vorrat für 15 Pferde 4 Tage.

Sprechweise:
Für 15 Pferde reicht das Futter 4 Tage.
1 Pferd ist 15 ∶ 15 Pferde, für das das Futter 4 ∙ 15 = 60 Tage reicht.
20 Pferde sind 20 ∙ 1 Pferd, für das das Futter 60 ∶ 20 = 3 Tage reicht.

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