Prozentrechnung

Die fünf wichtigsten Formeln der Prozentrechnung
Fachbegriffe der Prozentrechnung
Prozentbegriff
Darstellung in Schaubildern

 
Die fünf wichtigsten Formeln der Prozentrechnung
Prozentwert W
gegeben: Prozentsatz p, Grundwert G
W = p · G  
Prozentsatz p
gegeben: Prozentwert W, Grundwert G
$ p = \frac{\text{W}}{\text{G}}$  
Grundwert G
gegeben: Prozentwert W, Prozentsatz p
$\text{G} = \frac{\text{W}}{\text{p}}$  
vermehrter Grundwert $\text{G}^+$
$\text{G}^+ = G (1 + p)$  
verminderter Grundwert $\text{G}^−$
$\text{G}^− = G (1 – p)$  
 
Fachbegriffe der Prozentrechnung

Der Grundwert G ist das Ganze, also 100 %.
Der Prozentsatz p gibt an, welcher Anteil vom Ganzen zu bilden ist.
Der Prozentwert W gibt an, wie groß dieser Teil vom Ganzen ist.

Beispiel:
25 % von 24 Schülern = 6 Schüler
Prozentsatz: 25 %
Grundwert: 24 Schüler
Prozentwert: 6 Schüler

Der vermehrte Grundwert $\text{G}^+$ kommt immer zum Einsatz, wenn eine Erhöhung vorliegt, z. B. Preiserhöhung, Mehrwertsteuer usw.
Der verminderte Grundwert $\text{G}^−$ kommt hauptsächlich bei Reduzierungen oder Rabatten vor.

Die Erklärung und Beispiele für die Berechnung des vermehrten und verminderten Grundwerts finden Sie hier:
Vermehrter und verminderter Grundwert

 
Prozentbegriff

Der Begriff „Prozent“ bedeutet „von Hundert“ oder „Hundertstel“.
Prozente geben also immer einen Anteil von einer Menge an, z. B. 25 Prozent aller Schüler der Berufsschule,
18 Prozent aller Deutschen oder 33 Prozent aller Frauen.
Als Abkürzung wird das Zeichen % verwendet. Man schreibt 25 % aller Schüler der Berufsschule.

Schreibweisen

25 % bedeutet „25 von Hundert“, also $25 ∶ 100$.

25 % kann man auch als Bruch schreiben: $\frac{25}{100}$

$\frac{25}{100}$  kann man kürzen auf $\frac{1}{4}$ .

Das bedeutet: $25 \text{ %} = 25 ∶ 100 = 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Statt „p von 100“ schreibt man kurz p. p beschreibt den Prozentsatz.

Es gilt: p = $\frac{\text{p}}{100}$

Beispiel: $19 \text{ %} = \frac{19}{100}$

Prozentsätze als Brüche schreiben

Wenn man Prozentsätze als Brüche schreibt, dann geht man so vor:
1. Man dividiert den Prozentsatz durch 100.
2. Man schreibt dann den Quotienten als Bruch und kürzt ihn so weit wie möglich.

Beispiel: $10 \text{ %}= 10 : 100 = \frac{10}{100}$ = $\frac{1}{10}$

Umrechnung in Dezimalbrüche

Wenn man Prozentsätze in Dezimalbrüche umrechnen will, dann geht man so vor:
1. Man schreibt den Prozentsatz als Bruch.
2. Man dividiert den Zähler (oben im Bruch) durch den Nenner (unten im Bruch).

Beispiel: $10 \text{ %} = \frac{10}{100}$ = 0,1

Brüche als Prozentsätze schreiben

Um Brüche als Prozentsätze zu schreiben, geht man so vor:
1. Man kürzt den Bruch vollständig!
2. Man multipliziert dann den gekürzten Bruch mit 100. Das Produkt ist der Prozentsatz.

Beispiel: $\frac{9}{27} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{1}{3} \cdot 100 = \frac{100}{3} ≈ 33,33 \leftrightarrow 33,33$ %

 
Darstellung in Schaubildern
Streifendiagramm

Wenn Sie Prozentsätze durch ein Streifendiagramm veranschaulichen, dann gehen Sie so vor:

1. Zeichnen Sie einen Streifen von einer bestimmten Länge a. Wählen Sie z. B. a = 10 cm.

Beispiel:
Ein Prozentsatz 7 % ist dann ein Streifenstück der Länge 7 mm (Millimeter), denn:

100 % sind 10 cm = 100 mm

1 % sind $\frac{100\text{ mm}}{100}$ = 1 mm
7 % sind 7 $\cdot$ 1 mm = 7 mm

2. Berechnen Sie zu den gegebenen Prozentanteilen die Längen der zugehörigen Streifenstücke und tragen Sie sie im Streifen ab.

Anmerkung:
Hat der Streifen eine beliebige Länge von a cm, so entspricht einem Prozent genau $\frac{\text{a}}{100} \text{ cm}$.
Ein Anteil von p wird dann durch ein Streifenstück von $\text{p} \cdot \frac{\text{a}}{100}\text{ cm}$ dargestellt.
Beispiel Streifendiagramm:

Kreisdiagramm

Wenn Sie Prozentsätze durch ein Kreisdiagramm veranschaulichen sollen, dann gehen Sie so vor:

1. Zeichnen Sie einen Kreis.
Zu jedem Prozentsatz p gehört dann ein Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel φ = p $\cdot$ 3,6˚,
denn (φ griechischer Buchstabe für Winkel, gesprochen „Phi“):

Der Mittelpunktswinkel φ ist bestimmt durch:

φ = p $\cdot$ 3,6˚  

2. Berechnen Sie zu den angegebenen Prozentanteilen die Mittelpunktswinkel und zeichnen Sie die zugehörigen Kreisausschnitte!

Schwein: $\text{p}_{\text{Schwein}}=64,8 \text{ %} \rightarrow φ_{Schwein}$ = 64,8 · 3,6° = 233,28°

Geflügel: $\text{p}_{\text{Geflügel}}=17,8 \text{ %} \rightarrow φ_{Geflügel}$ = 17,8 · 3,6° = 64,08°

Rind/Kalb: $\text{p}_{\text{Rind/Kalb}}=14,3 \text{ %} \rightarrow φ_{Rind/Kalb}$ = 14,3 · 3,6° = 51,48°

Innereien: $\text{p}_{\text{Innereien}}=3,1 \text{ %} \rightarrow φ_{Innereien}$ = 3,1 · 3,6° = 11,16°

Probe:
$φ_{Gesamt}=φ_{Schwein} + φ_{Geflügel} + φ_{Rind/Kalb} + φ_{Innereien} = 233,28° + 64,08° + 51,48° + 11,16° = 360°$

$\text{p}_{\text{Gesamt}}=\text{p}_{\text{Schwein}}+\text{p}_{\text{Geflügel}}+ \text{p}_{\text{Rind/Kalb}} +\text{p}_{\text{Innereien}} = 64,8\text{ %} + 17,8\text{ %} + 14,3\text{ %} + 3,1\text{ %}=100 \text{ %}$

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