Vermehrter und verminderter Grundwert

Vermehrter Grundwert
Verminderter Grundwert

 
Vermehrter Grundwert

Wenn auf den Preis einer Ware z. B. die Mehrwertsteuer (19 %) aufgeschlagen wird, dann vermehrt sich der Grundwert.
Diesen vermehrten Grundwert bezeichnet man als $\text{G}^+$.
Nettopreis = Grundwert (G)
Steuern in % = Prozentsatz (p)
Bruttopreis = vermehrter Grundwert ($\text{G}^+$)

 
Gesucht: Der vermehrte Grundwert

Sie kennen den Grundwert und den Prozentsatz. Setzen Sie G und p % in diese Formel ein!

$\text{G}^+ = G (1 + p)$

Beispiel:
Familie Schmidt zahlte bisher für ihre Wohnung monatlich 1180 € Miete. Nun wird die Miete um 12 % erhöht.
Wie viel Miete wird die Familie zukünftig zahlen müssen?

gegeben:
G: alte Miete = 1180 €
Prozentsatz p = 12 %
gesucht: neue Miete ($\text{G}^+$)
Frage: Wie viel Miete wird die Familie zukünftig zahlen müssen?
Rechnung:

$\text{G}^+ = G (1 + p)$

$\text{G}^+ = 1180 € (1 + 12 \text{%}) = $

$1180 € (1 + (\frac{12}{100}) = $

$1180 € (1 + 0,12) = $

$1321,60 €$

Antwort: Die Familie Schmidt wird zukünftig 1321,60 € bezahlen müssen.

 
Gesucht: Der Grundwert

Kennen Sie den vermehrten Grundwert und den Prozentsatz, so können Sie daraus den Grundwert berechnen:

$G = (\frac{\text{G}^+}{1+p})$

Beispiel: Familie Schmidt muss wegen einer Mieterhöhung um 8 % jetzt 799,20 € zahlen.
Wie hoch war ihre Miete vorher?

gegeben:
$\text{G}^+$: neue Miete = 799,20 €
Prozentsatz: p = 8 %
gesucht: alte Miete (G)
Frage: Wie hoch war ihre Miete vorher?
Rechnung:

$G = (\frac{\text{G}^+}{1+p})$

$G = (\frac{799,20 €}{1 + 8 \text{%}})$ =

$(\frac{799,20 €}{1 + \frac{8}{100}})$ =

$(\frac{799,20 €}{1,08})$ =

$740 €$

Antwort: Vor der Mieterhöhung hatte die Familie Schmidt 740 € Miete zu bezahlen.

 
Gesucht: Die prozentuale Erhöhung

Kennt man den Grundwert und den vermehrten Grundwert, so kann man daraus den Prozentsatz p, um den erhöht wurde, berechnen.

$\text{p} = 100 \cdot (\frac{\text{G}^{+} −\text{G}}{\text{G}})$

Beispiel: Die Miete von Familie Schmidt ist von 950 € auf 1054,50 € angestiegen.
Wie viel Prozent macht die Mieterhöhung aus?

gegeben:
G : alte Miete = 950 €
$\text{G}^+$ : neue Miete = 1054,50 €
gesucht: Prozentsatz p der Mieterhöhung
Frage: Wie viel Prozent macht die Mieterhöhung aus?
Rechnung:

$\text{p} = 100 \cdot (\frac{\text{G}^{+} −\text{G}}{\text{G}}) = $

$100 \cdot (\frac{1054,50 € − 950 €}{950 €}) = $

$100 \cdot (\frac{104,50 €}{950 €}) = $

$11 \text{%}$

Antwort: Die Miete wurde um 11 % erhöht.

 
Verminderter Grundwert

Bei Rabatten oder beim Skonto vermindert sich der Grundwert. Dieser verminderte Grundwert wird als ($\text{G}^−$) bezeichnet.
Immer wenn die Steuern abgeführt werden, z. B. Lohnsteuer, wird der verminderte Grundwert berechnet:
Bruttolohn = Grundwert (G)
Steuern in % = Prozentsatz (p)
Nettolohn = verminderter Grundwert ($\text{G}^−$)

 
Gesucht: Der verminderte Grundwert

Sie kennen den Grundwert und den Prozentsatz. Setzen Sie G und p % in diese Formel ein!

$\text{G}^− = G (1 – p)$

Beispiel: Peter will sich einen neuen Pullover kaufen. In einem Geschäft sieht er einen Pullover für 45 €, der jetzt um 30 % reduziert wurde.
Was kostet der Pullover jetzt?

gegeben:
G: alter Preis = 45 €
Prozentsatz p = 30
gesucht: $\text{G}^−$
Frage: Was kostet der Pullover jetzt?

Rechnung:

$\text{G}^− = G (1 – p)$

$\text{G}^− = 45 € (1 – 30 \text{%}) = $

$45 € (1 – \frac{30}{100}) = $

$45 € (1 – 0,3) = $

$45 € · 0,7 = $

$ 31,5 € $

Antwort: Der Pullover kostet jetzt 31,50 €.

 
Gesucht: Der Grundwert

Kennen Sie den verminderten Grundwert und den Prozentsatz p, so können Sie daraus den Grundwert berechnen:

$\text{G}=\frac{\text{G}^−}{1-p}$

Beispiel: Peter will sich eine neue Jacke kaufen. Im Geschäft sieht er eine Jacke, die um 35 % reduziert wurde und jetzt 39 € kostet. Wie viel kostete die Jacke vorher?

gegeben:
$\text{G}^−$: neuer Preis = 39 €
Prozentsatz p = 35 %
gesucht: alter Preis (G)
Frage: Wie viel kostete die Jacke vorher?

Rechnung:

$\text{G}=\frac{\text{G}^−}{1-p}$

$\text{G}=\frac{39\text{€}}{1-35 \text{%}} = $

$\frac{39 \text{€}}{1-\frac{35}{100}} = $

$\frac{39 \text{€}}{1-0,35} = $

$\frac{39 \text{€}}{0,65} = $

$60 \text{€}$

Antwort: Die Jacke kostete vorher 60 €.

 
Gesucht: Die prozentuale Senkung

Kennen Sie den Grundwert und den verminderten Wert, so können Sie daraus den Prozentsatz p, um den gesenkt wurde, berechnen:

$\text{p} = 100 \cdot (\frac{\text{G} −\text{G}^{-}}{\text{G}})$

Beispiel: Peter sieht eine Hose, die von 80 € auf 57,60 € gesenkt wurde.
Um wie viel Prozent wurde sie reduziert?

gegeben:
G: alter Preis = 80 €
$\text{G}^−$: neuer Preis = 57,60 €
gesucht: Prozentsatz p der Preisreduzierung
Frage: Um wie viel Prozent wurde sie reduziert?

Rechnung:

$\text{p} = 100 \cdot (\frac{\text{G} −\text{G}^{-}}{\text{G}})$

$\text{p} = 100 \cdot (\frac{80\text{€} − 57,60\text{€}}{80\text{€}}) = $

$100 \cdot (\frac{22,40\text{€}}{80\text{€}}) = $

$100 \cdot 0,28 = $

$28 \text{%}$

Antwort: Der Preis wurde um 28 % reduziert.

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