Viereck

Die wichtigsten Formeln
Definition und Fachbegriffe
Linien im allgemeinen Viereck
Rechteck
Quadrat
Trapez
Parallelogramm
Raute
Drache

 
Die wichtigsten Formeln
Figur

Umfang

Fläche

Rechteck

$\text{U}_\text{Rechteck} = 2 \cdot (\text{a} + \text{b})$

$\text{A}_\text{Rechteck} = \text{a} \cdot \text{b}$

Quadrat

$\text{U}_\text{Quadrat} = 4 \cdot \text{a}$

$\text{A}_\text{Quadrat} = a²$

Trapez

$\text{U}_\text{Trapez} = \text{a} + \text{b} + \text{c} + \text{d} $

$\text{A}_\text{Trapez}=\frac{1}{2} \cdot (\text{a}+\text{c}) \cdot \text{h}$

Parallelogramm

$\text{U}_\text{Parallelogramm} = 2 \cdot (\text{a} + \text{b})$

$\text{A}_\text{Parallelogramm} = \text{a} \cdot \text{h}_\text{a}$

Raute

$\text{U}_\text{Raute} = 4 \cdot \text{a}$

$\text{A}_\text{Raute} = (\text{e} \cdot \text{f}) ∶ 2$

Drache

$\text{U}_\text{Drache} = 2 \cdot (\text{a} + \text{b})$

$\text{A}_\text{Drache} = (\text{e} \cdot \text{f}) ∶ 2$
 
Definition und Fachbegriffe

Ein Viereck besteht aus vier Punkten ABCD. Von diesen vier Punkten sind die benachbarten Punkte miteinander verbunden und bilden so das Viereck. Das bedeutet, dass der Eckpunkt A mit den Eckpunkten B und D verbunden ist, aber nicht mit C.

Seitenbenennung
Die Eckpunkte geben den Seiten ihre Namen.
Die Seite a ist die erste Seite, die die Punkte A und B verbindet.
Die Seite b ist die zweite Seite, die die Punkte B und C verbindet.
Die Seite c verbindet C und D.
Die Seite d verbindet D und A.

Winkelbenennung
Die Seiten schließen die Winkel α (alpha), β (beta,) γ (gamma) und δ (delta) ein.
Der Winkel α liegt im Eckpunkt A und wird aufgespannt durch die Seiten a und d.
Der Winkel β liegt im Eckpunkt B und wird aufgespannt durch die Seiten a und b.
Der Winkel γ liegt im Eckpunkt C und wird aufgespannt durch die Seiten b und c.
Der Winkel δ liegt im Eckpunkt D und wird aufgespannt durch die Seiten c und d.

Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt 360°.

 
Linien im allgemeinen Viereck
Höhe

Die Höhe der Vierecke spielt nur bei Trapezen und Parallelogrammen eine Rolle.
Sie ist der senkrechte Abstand zweier parallel gegenüberliegender Seiten.

Falls die Höhe die gegenüberliegende Seite nicht erreichen kann, muss man die Seite entsprechend erweitern:

Winkelhalbierende

Winkelhalbierende sind Halbgeraden, die einen Winkel im Viereck in zwei Hälften teilen.
Ihre Anfangspunkte liegen auf einem Eckpunkt des Vierecks, und sie teilen den Innenwinkel in diesem Punkt in zwei gleich große Teile.
In den nachfolgenden Skizzen sind zwei Winkelhalbierende exemplarisch orangefarben eingezeichnet.

Diagonale

Die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Eckpunkte im Viereck heißen Diagonalen und werden üblicherweise mit $\text{e}$ und $\text{f}$ bezeichnet.

 
Rechteck

Beim Rechteck sind die beiden sich gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander.
Jeder der vier Winkel beträgt 90°.

 
Umfang eines Rechtecks

Zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks zählt man die Länge aller Seiten zusammen.

$\text{U}_\text{Rechteck} = \text{a} + \text{b} + \text{c} + \text{d} $

Da a und c gleich lang sind und b und d auch, kann man das vereinfachen:

$2 \cdot \text{a} + 2 \cdot \text{b} = 2 \cdot (\text{a} + \text{b})$

 
Fläche eines Rechtecks

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, multipliziert man die Länge mit der Breite.

$\text{A}_\text{Rechteck} = \text{a} \cdot \text{b}$

 
Quadrat

Das Quadrat ist ein Spezialfall des Rechtecks. Alle vier Seiten sind gleich lang.

Also ist $\text{a} = \text{b} = \text{c} = d$.

Bei einem Quadrat nennt man deshalb alle Seiten $\text{a}$. Damit ist sofort klar, dass die Seiten gleich lang sind.
Wie beim Rechteck sind auch alle Winkel in einem Quadrat 90° groß.

 
Umfang eines Quadrats

Da im Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind, berechnet sich der Umfang so:

$\text{U}_\text{Quadrat} = \text{a} + \text{a} + \text{a} + \text{a} = 4 \cdot \text{a}$

 
Fläche eines Quadrats

Die Fläche eines Quadrats kann über die vier gleich langen Seitenlängen oder die Diagonale berechnet werden.
Seitenlängen: $\text{A}_\text{Quadrat} = a \cdot a = a²$
Diagonale: $\text{A}_\text{Quadrat} = d² ∶ 2$

 
Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind.
Entweder ist also $\text{a}$ parallel zu $\text{c}$ oder $\text{b}$ parallel zu $\text{d}$.
Die längere dieser Seiten wird die Basis des Trapezes genannt, die beiden an der Basis anschließenden Seiten sind die Schenkel.

Beispiel:
$\text{a}$ ist parallel zu $\text{c}$. Die längere Seite ist die Basis, also $\text{c}$.
Die Schenkel des Trapezes sind also $\text{b}$ und $\text{d}$.

 
Umfang eines Trapezes

Zur Berechnung des Umfangs eines Trapezes zählt man die Länge aller Seiten zusammen.

$\text{U}_\text{Trapez} = \text{a} + \text{b} + \text{c} + \text{d} $

 
Fläche eines Trapezes

Die Fläche eines Trapezes berechnet man, indem man die beiden parallelen Seiten addiert, damit die Höhe h multipliziert
und das Ergebnis durch 2 teilt:

$\text{A}_\text{Trapez}=\frac{1}{2} \cdot (\text{a}+\text{c}) \cdot \text{h}$

 
Parallelogramm

Bei einem Parallelogramm sind die sich gegenüberliegenden Seiten parallel.

Also ist $\text{a}$ || $\text{c}$ und $\text{b}$ || $\text{d}$ (sprich: $\text{a}$ ist parallel zu $\text{c}$ und $\text{b}$ ist parallel zu $\text{d}$).

Die sich gegenüberliegenden Winkel in einem Parallelogramm sind gleich groß.

Also ist $α= γ$ und $β= δ$

Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen $180°$.

Also ist:
$α + β = 180°$
$β + γ = 180°$
$γ + δ = 180°$
$α + δ = 180°$

 
Umfang eines Parallelogramms

Zur Berechnung des Umfangs eines Parallelogramms zählt man die Länge aller Seiten zusammen.

$\text{U}_\text{Parallelogramm} = \text{a} + \text{b} + \text{c} + \text{d} $

Da a und c gleich lang sind und b und d auch, kann man das vereinfachen:

$2 \cdot \text{a} + 2 \cdot \text{b} = 2 \cdot (\text{a} + \text{b})$

 
Fläche eines Parallelogramms

Die Fläche eines Parallelogramms berechnet man, indem man von einer Seite die Höhe bildet.
Danach multipliziert man die Länge dieser Seite mit der Länge der Höhe.

$\text{A}_\text{Parallelogramm} = \text{a} \cdot \text{h}_\text{a}$

 
Raute

Eine Raute kann man auch Rhombus nennen. Bei einer Raute sind alle vier Seiten gleich lang.

Also ist $\text{a} = \text{b} = \text{c} = \text{d}$.

Die Seiten, die sich gegenüberliegen, sind parallel.

Also ist $\text{a}$ || $\text{c}$ und $\text{b}$ || $\text{d}$ (sprich: $\text{a}$ ist parallel zu $\text{c}$ und $\text{b}$ ist parallel zu $\text{d}$).

Die gegenüberliegenden Winkel in einer Raute sind immer gleich groß.

Also ist $α= γ$ und $β= δ$

Zwei benachbarte Winkel ergeben als Summe 180°.

Also ist:
$α+ β=180°$
$β+ γ=180°$
$γ+ δ=180°$
$α+ δ=180°$

 
Umfang einer Raute

Da bei einer Raute alle vier Seiten gleich lang sind, berechnet sich der Umfang so:

$\text{U}_\text{Raute} = \text{a} + \text{a} + \text{a} + \text{a} = 4 \cdot \text{a}$

 
Fläche einer Raute

Die Fläche einer Raute berechnet man, indem man die beiden Diagonalen miteinander multipliziert und das Ergebniss im Anschluss durch zwei teilt.
$\text{A}_\text{Raute} = (\overline{\text{AC}} \cdot \overline{\text{BD}}) ∶ 2$

 
Drache

Bei einem Drachen sind jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass die Länge von
$\text{b}$ = die Länge von $\text{c}$ und die Länge von $\text{a}$ = die Länge von $\text{d}$.
Die gegenüberliegenden Winkel $β$ und $δ$ sind gleich groß.

Also ist $β=δ$.

Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.

Also ist:
$α+ β=180°$
$β+ γ=180°$
$γ+ δ=180°$
$α+ δ=180°$

 
Umfang eines Drachen

Zur Berechnung des Umfangs eines Drachens zählt man die Länge aller Seiten zusammen.

$\text{U}_\text{Drache} = \text{a} + \text{b} + \text{c} + \text{d} $

Da a und d gleich lang sind und b und c auch, kann man das vereinfachen:

$2 \cdot \text{a} + 2 \cdot \text{b} = 2 \cdot (\text{a} + \text{b})$

 
Fläche eines Drachen

Die Fläche eines Drachen berechnet man, indem man die beiden Diagonalen miteinander multipliziert und das Ergebniss im Anschluss durch zwei teilt.
$\text{A}_\text{Drache} = (\overline{\text{AC}} \cdot \overline{\text{BD}}) ∶ 2$

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