Zinsrechnung

Die zwölf wichtigsten Formeln der Zinsrechnung
Vergleich: Prozentrechnung und Zinsrechnung
Fachbegriffe der Zinsrechnung

 
Die zwölf wichtigsten Formeln der Zinsrechnung
Jahreszinsen Z
gegeben: Zinssatz p, Kapital K

$\text{Z} = p \cdot \text{K}$  

Zinssatz p
gegeben: Jahreszins Z, Kapital K

$\text{p} = \frac{\text{Z}}{\text{K}}$ 

Kapital K
gegeben: Jahreszins Z , Zinssatz p

$\text{K} = \frac{Z}{\text{p}} $  

Zinsen $\text{Z}_\text{m}$ für m Monate
gegeben: Jahreszinsen Z,
Laufzeit: m Monate

$\text{Z}_\text{m} = \frac{\text{m}}{12} \cdot \text{Z}$  

Zinsen $\text{Z}_\text{m}$ für m Monate
gegeben: Zinssatz p, Kapital K,
Laufzeit: m Monate

$\text{Z}_\text{m} = \frac{\text{m} \cdot \text{p} \cdot \text{K}}{12}$  

Zinsen $\text{Z}_\text{t}$ für t Tage
gegeben: Jahreszinsen Z,
Laufzeit: t Tage

$\text{Z}_\text{t} = \frac{\text{t}}{360} \cdot \text{Z}$  

Zinsen $\text{Z}_\text{t}$ für t Tage
gegeben: Zinssatz p, Kapital K,
Laufzeit: t Tage

$\text{Z}_\text{t} = \frac{\text{t} \cdot \text{p} \cdot \text{K}}{360}$  

Laufzeit: t Tage
gegeben: Jahreszinsen Z,
Zinsen $\text{Z}_\text{t}$ für t Tage

$\text{t} = \frac{360 \cdot \text{Z}_\text{t}}{\text{Z}}$  

Laufzeit: t Tage
gegeben: Zinssatz p, Kapital K,
Zinsen $\text{Z}_\text{t}$ für t Tage

$\text{t} = \frac{360 \cdot \text{Z}_\text{t}}{\text{p} \cdot \text{K}}$  

Kapital K
gegeben: Zinssatz p, Laufzeit: t Tage,
Zinsen $\text{Z}_\text{t}$ für t Tage

$\text{K} = \frac{360 \cdot \text{Z}_\text{t}}{\text{t} \cdot \text{p}}$  

Zinssatz p
gegeben: Kapital K, Laufzeit: t Tage,
Zinsen $\text{Z}_\text{t}$ für t Tage

$\text{p} = \frac{360 \cdot \text{Z}_\text{t}}{\text{t} \cdot \text{K}}$  

Endkapital $\text{K}_\text{n}$ nach n Jahren
gegeben: Anfangskapital K, Zinssatz p,
Zinsfaktor q = 1 + p

$\text{K}_\text{n} = \text{K} \cdot \text{q}^{\text{n}}$  

 
Vergleich: Prozentrechnung und Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist ein Anwendungsgebiet der Prozentrechnung.
Der Grundwert G entspricht dem Kapital K.
Der Prozentwert W entspricht den Jahreszinsen Z.
Der Prozentsatz p entspricht dem Zinssatz p.

 
Vergleich der Formeln:
Prozentrechnung         Prozentwert:        

$W = p · G $        

Prozentsatz:        

$ p = \frac{\text{W}}{\text{G}}$        

Grundwert:        

$\text{G} = \frac{\text{W}}{\text{p}}$        

Zinsrechnung  Jahreszinsen:

$Z = p · K $ 

Zinssatz:

$ p = \frac{\text{Z}}{\text{K}}$ 

Kapital:

$\text{K} = \frac{\text{Z}}{\text{p}}$ 

 
Fachbegriffe der Zinsrechnung

Das Kapital K ist der angelegte oder ausgeliehene Geldbetrag.
Die Jahreszinsen Z sind die Gebühr für ein Jahr, weil man Geld geliehen hat, oder das Geld, das man nach einem Jahr bekommt, weil man Geld angeleget hat.
Der Zinssatz p legt fest, wie viel Prozent des Kapitals K man am Ende vom Jahr bekommt oder bezahlen muss, je nachdem ob man Geld anlegt oder ausleiht.
Natürlich kann ein Kapital auch über einen kürzeren oder längeren Zeitraum als ein Jahr ausgeliehen werden. Entsprechend sind dann die Zinsen größer oder kleiner als die Jahreszinsen.

Beispiel:

4 %     von     1000 €     =     40 €    
Zinssatz p         Kapital K         Jahreszinsen Z    

 

Legt man ein Kapital von 1000 € zu einem Zinssatz von 4 % an, so bekommt man dafür nach einem Jahr 40 € Zinsen.
Leiht man sich ein Kapital von 1000 € zu einem Zinssatz von 4 %, so muss man dafür nach einem Jahr 40 € Zinsen zahlen.

 
Die Laufzeit

Die Laufzeit ist die Zeit, während der Kapital ausgeliehen oder angelegt wird.
Im Geldwesen gilt: Ein Monat zählt 30 Tage. Ein Jahr zählt 360 Tage.

Zahlen Sie einen Kredit von 1000 €, den Sie zu einem Zinssatz von 4 % aufgenommenen haben, bereits nach neun Monaten zurück, so werden nicht die vollen Jahreszinsen von 40 € fällig, sondern nur $\frac{9}{12}$ davon, also 30 €.

Bei einer Laufzeit von z. B. 137 Tagen fallen nur $\frac{137}{360}$ der Jahreszinsen an.

 
Monatszinsen/Tageszinsen

Bei einer Laufzeit von m Monaten bzw. t Tagen werden $\frac{\text{m}}{12}$  bzw. $\frac{\text{t}}{360}$  der Jahreszinsen fällig.

Sind Z die Jahreszinsen, $\text{Z}_\text{m}$ die Zinsen für m Monate und $\text{Z}_\text{t}$ die Zinsen für t Tage, so gilt:

$\text{Z}_\text{m} = \frac{\text{m}}{12} \cdot \text{Z}$

$\text{Z}_\text{t} = \frac{\text{t}}{360} \cdot \text{Z}$

 

Beispiel:
Legen Sie 1000 € zu einem Zinssatz von 4 % für ein Jahr an, dann erhalten Sie nach diesem Jahr 40 € Zinsen.
Ihre Spareinlage ist also auf 1040 € angewachsen:

$(1 + \frac{4 \text{%}}{100 \text{%}}) \cdot 1000 € = 1,04 \cdot 1000 € = 1040 €$.

 
Anfangskapital, Endkapital, Zinsfaktor

Anlage von Geld
Wird ein Anfangskapital K zu einem Zinssatz von p angelegt, dann beträgt das Endkapital $\text{K}_\text{n}$ nach einem Jahr

$\text{K}_\text{n} = \text{K} \cdot (1 + p) = \text{K} \cdot \text{q}^{\text{n}}$

 

Die Zahl „$1 + p$“ heißt Zinsfaktor q.

Beispiel:
Werden 1000 € zu einem Zinssatz von 4 % über 8 Jahre angelegt, so ist das Kapital nach dem ersten Jahr auf 1,04 $\cdot$ 1000 € angewachsen,
nach dem zweiten Jahr auf

$1,04 \cdot (1,04 \cdot 1000) € = 1,04^2 \cdot 1000 €$, usw.

Nach 8 Jahren ist das Anfangskapital von 1000 € auf das Endkapital von

$1,04^8 \cdot 1000 € ≈ 1368,57 €$

angewachsen.

 
Kapitalwachstum nach mehreren Jahren

Wird ein Anfangskapital K zu einem Zinssatz von p für n Jahre angelegt, dann gilt für das Endkapital $\text{K}_\text{n}$ nach n Jahren:

$\text{K}_\text{n} = \text{K} \cdot (1 + p)^n = K \cdot q^n $

 

Da ab dem zweiten Jahr nicht nur das Anfangskapital K, sondern auch die jeweiligen Zinsen verzinst werden, spricht man von Zinseszinsen.

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