Neue Videos zur Differentialrechnung: Ableitungsregeln

Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel sind die wichtigsten Ableitungsregeln im Bereich der Differentialrechnung. Du brauchst sie, um die Ableitung von Termen zu bestimmen, die nicht den 6 Standardfunktionen entsprechen. Diese werden ausführlich im Video Die 1. Ableitung berechnen erklärt. Entspricht der abzuleitende Term keiner dieser Funktionen, musst du eine Ableitungsregel verwenden.

Kettenregel

Handelt es es bei der gegebenen Funktion um eine in einander verschachtelte oder verkettete Funktion, wendest du die Kettenregel an.
Diese besagt:
$f=g\circ h$ ⇒ $f’=(g’\circ h)\cdot h’$.

Mit $g$ bezeichnen wir die äußere Funktion, mit $h$ die innere Funktion. Dementsprechend bezeichnet $g’$ die äußere Ableitung und $h’$ die innere Ableitung. Die Multiplikation mit $h’$ bezeichnet man auch als „nachdifferenzieren“.

Um die Kettenregel anzuwenden gehst du folgendermaßen vor:
Du identifizierst beim vorgegebenen Funktionsterm die innere und die äußere Funktion. Damit ist schon einmal der erste Schritt getan. Im Anschluss berechnest du die Ableitungen der beiden Teilfunktionen $g(x)$ und $h(x)$ und setzt sie in die Formel ein. Den jetzt entstandenen Term solltest du im letzten Schritt so weit wie möglich vereinfachen. Hier die ausführliche Anleitung im Video:

 

Kettenregel
 

Produktregel

Wie ihr Name schon sagt, wird die Produktregel angewendet, um ein Produkt zweier Grundfunktionen abzuleiten. Es gilt:
$f=g\cdot h$ ⇒ $f’=g’\cdot h+g\cdot h’$

So gehst du vor:
Du bildest die Ableitungen der beiden Teilfunktionen $g(x)$ und $h(x)$. Die Ergebnisse setzt du in die Formel ein. Vereinfache auch hier im letzten Schritt den Term so weit wie möglicht. Mit dem vollständig faktorisierten Ergebnis kann man bei Bedarf sehr leicht die Nullstellen berechnen.
Die Schritt-für-Schritt-Anleitung an einem Beispiel gibt’s in diesem Video:

 

Produktregel
 

Quotientenregel

Auch hier leitet sich die Anwendung vom Namen ab: Du verwendest die Quotientenregel, um den Quotienten zweier Grundfunktionen abzuleiten. Es gilt:
$\displaystyle f=\frac{g}{h}$ ⇒ $f’=\frac{g’\cdot h-g\cdot h‘}{h^2}$.

Auch hier bildest du zunächst die Ableitungen der beiden Teilterme, um sie im nächsten Schritt in die Formel einzusetzen. Im letzten Schritt vereinfachst du das Ergebnis wieder so weit wie möglich.
Unser Videocoach erklärt dir das Ganze noch einmal ausführlich im Video:

 

Quotientenregel
 

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