2×2-Matrix invertieren (Inverse Matrizen)

Bewerten
Kommentieren
 

Bewertung

0/5 Sterne
0 Bewertungen
 

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

 
 

Weitere Videos im Kurs

 
 

2×2-Matrix invertieren (Inverse Matrizen)

Eine 2×2-Matrix invertieren stellt zum einen eine systematische Methode zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten dar, andererseits benötigst du diese Technik, um zu einer affinen in der Ebene die zugehörige Umkehrabbildung zu finden. Zur Berechnung inverser Matrizen gibt es fertige Formeln. Die Formel für die 2×2-Matrix eignet sich gut zum Auswendiglernen, daher erklären wir im Video ihre Anwendung. Etwas anders sieht es bei der 3×3-Matrix aus. Hier erklären wir das Vorgehen über Zeilenumformungen. Wenn du wissen möchtest, wie du eine inverse Matrix zu einer 3×3-Matrix berechnest, schau dir das Video Inverse 3×3-Matrix berechnen an.

Beispielaufgabe 2×2-Matrizen invertieren

Bestimme die inverse Matrix zu $M=\begin{pmatrix}1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix}$.

Umkehrformel für 2×2-Matrizen

Ist eine Matrix $M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ invertierbar, so ist die Inverse gegeben durch $M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$.
Das bedeutet, du berechnest die Determinante $det(M)=ad-bc$ und vertauschst die Einträge der Hauptdiagonalen. Anschließend versetzt du die restlichen Einträge mit einem Minuszeichen. Danach teilst du die gesamte Matrix durch die zuvor berechnete Determinante.

Matrix invertieren

In unserem Fall ist $M=\begin{pmatrix}1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix}$, also $\det(M)=1\cdot 1-2\cdot(-2)=5$. Die Vertauschung der Hauptdiagonaleinträge ändert nichts (wegen $a=d=1$).
Multiplikation der anderen Einträge mit $(-1)$ liefert $\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix}$.
Das Teilen durch die Determinante liefert das Ergebnis $M^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}2 & -0{,}4\\0{,}4 & 0{,}2\end{pmatrix}$.

Lösung

Es ist $M^{-1}=\begin{pmatrix}0{,}2 & -0{,}4\\0{,}4 & 0{,}2\end{pmatrix}$

 

 
 
 
 

Jetzt einloggen


Passwort vergessen?
 

Durch die weitere Nutzung der Seite stimmen Sie der Verwendung von Cookies zu. Weitere Informationen

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close