2×2-Matrix invertieren (Inverse Matrizen)

Eine 2×2-Matrix invertieren stellt zum einen eine systematische Methode zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten dar, andererseits benötigst du diese Technik, um zu einer affinen in der Ebene die zugehörige Umkehrabbildung zu finden. Zur Berechnung inverser Matrizen gibt es fertige Formeln. Die Formel für die 2×2-Matrix eignet sich gut zum Auswendiglernen, daher erklären wir im Video ihre Anwendung. Etwas anders sieht es bei der 3×3-Matrix aus. Hier erklären wir das Vorgehen über Zeilenumformungen. Wenn du wissen möchtest, wie du eine inverse Matrix zu einer 3×3-Matrix berechnest, schau dir das Video Inverse 3×3-Matrix berechnen an.

Beispielaufgabe 2×2-Matrizen invertieren

Bestimme die inverse Matrix zu $M=\begin{pmatrix}1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix}$.

Umkehrformel für 2×2-Matrizen

Ist eine Matrix $M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ invertierbar, so ist die Inverse gegeben durch $M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$.
Das bedeutet, du berechnest die Determinante $det(M)=ad-bc$ und vertauschst die Einträge der Hauptdiagonalen. Anschließend versetzt du die restlichen Einträge mit einem Minuszeichen. Danach teilst du die gesamte Matrix durch die zuvor berechnete Determinante.

Matrix invertieren

In unserem Fall ist $M=\begin{pmatrix}1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix}$, also $\det(M)=1\cdot 1-2\cdot(-2)=5$. Die Vertauschung der Hauptdiagonaleinträge ändert nichts (wegen $a=d=1$).
Multiplikation der anderen Einträge mit $(-1)$ liefert $\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix}$.
Das Teilen durch die Determinante liefert das Ergebnis $M^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}2 & -0{,}4\\0{,}4 & 0{,}2\end{pmatrix}$.

Lösung

Es ist $M^{-1}=\begin{pmatrix}0{,}2 & -0{,}4\\0{,}4 & 0{,}2\end{pmatrix}$