2×2-Matrix mal Vektor (Vektor-Matrix-Multiplikation)

Matrix mal Vektor rechnen ist nur dann möglich, wenn der Vektor genauso viele Komponenten hat wie die Matrix Spalten. Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor gehört zu den Grundfertigkeiten im Matrixkalkül. Das brauchst du bei Aufgaben zu affinen Abbildungen in der Ebene sowie zur Lösung linearer Gleichungssysteme in Matrixschreibweise. Hier wird der Fall einer 2×2-Matrix behandelt. Das Ergebnis ist dann wieder ein Vektor mit genauso vielen Komponenten wie die Matrix Zeilen hat.

Formel: 2×2-Matrix mal Vektor rechnen

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot s+a_{12}\cdot t \\ a_{21}\cdot s+a_{22}\cdot t\end{pmatrix}$

Formel: Beispielaufgabe 2×2-Matrix mal Vektor

Eine Abbildung $\alpha:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ sei gegeben durch $\alpha (\overrightarrow{x})=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\cdot \overrightarrow{x}$.
Berechne das Bild des Punktes $A(3|{-}1)$ unter der Abbildung $\alpha$.

Formel für 2×2-Matrix mal Vektor anwenden

Den Ortsvektor des Bildpunktes $A’$ von $A$ unter $\alpha$ erhältst du, indem du $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA}= \left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$ in die Gleichung für $\alpha$ einsetzt:
$\overrightarrow{OA‘}= \begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$.

Wir benötigen also die 2×2-Matrix mal Vektor-Formel, angewendet auf die Matrix $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}$ und den den Vektor $\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$.

Es ergibt sich somit
$\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 3+2\cdot (-1) \\ 0\cdot 3+1\cdot (-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$.
Der zugehörige Punkt mit diesem Ortsvektor ist $A'(1|{-}1)$.

Lösung

Es ist $A'(1|{-}1)$.

Tipp: Wenn du wissen willst, wie du eine 3×3-Matrix mit einem Vektor multiplizierst, schau dir das Video 3×3-Matrix-Vektor-Multiplikation an.