3×3-Matrix-Vektor-Multiplikation

Die Matrix-Vektor-Multiplikation zu den Grundfertigkeiten im Bereich Matrixkalkül. Hierbei kommt die sogenannte Matrix-Vektor-Multiplikationregel zum Einsatz.
Die Multiplikation einer 3×3-Matrix ist nur möglich, wenn der Vektor genauso viele Komponenten hat wie die Matrix Spalten. Hier also drei. Das Ergebnis ist dann wieder ein Vektor mit drei Komponenten. UIn diesem Video lernst du in 1,5 Minuten, wie’s funktioniert.

Formel für die 3×3-Matrix-Vektor-Multiplikation

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}s \\ t\\ u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot s+a_{12}\cdot t+a_{13}\cdot u \\ a_{21}\cdot s+a_{22}\cdot t+a_{23}\cdot u \\ a_{31}\cdot s+a_{32}\cdot t+a_{33}\cdot u\end{pmatrix}$

Formel: Beispielaufgabe Matrix-Vektor-Multiplikation

Eine Abbildung $\alpha:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ sei gegeben durch
$\alpha\left(\vec{x}\right)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot \overrightarrow{x}$.
Berechne das Bild des Punktes $A(3|{-}1|1)$ unter der Abbildung $\alpha$.

Formel für 3×3-Matrix-Vektor-Multiplikation anwenden

Den Ortsvektor des Bildpunktes $A’$ von $A$ unter $\alpha$ erhältst du, indem du $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\1\end{array}\right)$ in die Gelichung für $\alpha$ einsetzt.
Das heißt
$\overrightarrow{OA‘}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\ -1\\ 1\end{pmatrix}$.

Wie benötigen also die Formel für die Matrix-Vektor-Multiplikation und wenden sie auf die Matrix $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ und den Vektor $\begin{pmatrix}s \\ t\\ u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -1\\ 1\end{pmatrix}$ an.

Somit ergibt sich $\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\ -1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 3+2\cdot (-1)+0\cdot 1 \\ 0\cdot 3+1\cdot (-1)+1\cdot 1\\0\cdot 3+1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ -2\end{pmatrix}$.
Der zugehörige Punkt mit diesem Ortsvektor ist damit $A'(1|0|{-}2)$.

Lösung

Es ist $A'(1|0|{-}2)$.

Tipp: Wenn du wissen möchtest, wie du bei der Multiplikation einer 2×2-Matrix mit einem Vektor vorgehst, dann schau dir das Video 2×2-Matrix mal Vektor rechnen an.