Abstand Gerade Ebene (in Koordinatenform) berechnen

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Abstand Gerade Ebene (in Koordinatenform) berechnen

Der Aufgabentyp Abstand Gerade Ebene bestimmen gehört zum Themenkomplex der Lagebeziehungen und Abstandsberechnungen.
Beim Abstand zwischen Gerade und Ebene treten zwei Fälle auf:

  1. Die Gerade verläuft parallel zur Ebene.
    ⇒ das bedeutet, dass alle Punkt der Gerade gleich weit von der Ebene entfernt sind.
  2. Die Gerade schneidet die Ebene.
    ⇒ In diesem Fall ist der Abstand null und du kannst dir weitere Berechnungen sparen.
  3. Beim klassischen Fall der Abstandsberechnung zwischen Gerade und Ebene sind die beiden parallel, so dass es darauf hinausläuft, den Abstand eines beliebigen Punktes der Gerade von der Ebene zu berechnen. Hierzu einen Beispielaufgabe:

    Gegeben seien eine Gerade $g$ durch $\overrightarrow {X}=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\0\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$ und eine Ebene $E$ mit der Gleichung $x-2y+z=1$.
    Bestimme den Abstand der Gerade zur Ebene.

    Manchmal ist in der Aufgabenstellung bereits vorgegeben, dass Gerade und Ebene parallel verlaufen, dann kannst du dir die Parallellitätsprüfung sparen und gleich den Abstand gerade Ebene berechnen. Bei dieser Aufgabe musst du erst rechnerisch nachweisen, dass gerade und Ebene parallel sind. Das geht am einfachsten mithilfe eines Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Ebene, der sich leicht aus der Koordinatengleichung ablesen lässt.
    Nur wenn der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene senkrecht auf dem Richtungvektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\0\end{array}\right)$ der Geraden steht, verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Sobald du weißt, dass alle Punkte der Gerade gleich weit von der Ebene entfernt sind, kannst du einen beliebigen Punkt (z. B. den Aufpunkt aus der Geradengleichung) der Gerade wählen und dann den Abstand Punkt Ebene berechnen, wie im entsprechenden Video erklärt.

    Schritt 1: Gerade auf Parallelität zur Ebene prüfen
    Die Gerade verläuft genau dann parallel zur Ebene, wenn das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektor der Ebene gleich null ist. Einen Normalenvektor können wir direkt aus der Koordinatengleichung der Ebene ablesen. Dazu nehmen wir einfach die Koeffizienten der Variablen $x$, $y$ und $z$ als Komponenten:
    $1x -2y+1z=1$ ⇒ $\overrightarrow{n}\perp E$.

    Der Richtungsvektor der Geradengleichung ist $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\0\end{array}\right)$ und es gilt $\overrightarrow{n} \circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\0\end{array}\right)\\
    = 1\cot 2+(-2) \cdot 1 +1 \cdot 0\\
    = 0$ ⇒ $\overrightarrow{n}$ steht senkrecht auf der Geraden, also verlaufen Gerade und Ebene parallel.

    Schritt 2: Abstand Gerade Ebene berechnen
    Aufgrund der Parallelität von gerade und ebene sind alle Punkte der gerade gleich weit von der Ebene entfernt. Wir können daher einen beliebigen Geradenpunkt für die Abstandsberechnung wählen, zum Beispiel den Aufpunkt der Geradengleichung:
    $g: \overrightarrow{X}= \left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\0\end{array}\right)$ ⇒ $P(1|-2|1) \in g$.
    Jetzt berechnen wir den Abstand dieses Punktes zur Ebene, wie im Video Abstand Punkt Ebene beschrieben.
    Die Koordinatengleichung $E:x-2y+z=1$ wird zuerst so umgeformt, dass auf der rechten Seite null steht:
    $x-2y+z-1=0$
    Dann teilen wir die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$, also durch
    $\overrightarrow{n}= \left|\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\1\end{array}\right)\right|=\sqrt{1^2 + -2)^2 + 1^2}=\sqrt{6}$
    Damit ergibt sich
    $E: \frac {x-2y+z-1}{\sqrt6}=0$

    Einsetzen des Punktes $P(1|-2|1)$ in den Betrag der linken Seite dieser Gleichung liefert den gesuchten Abstand Gerade Ebene:
    $d(E,g)=d(E,P)\\
    = \left|\frac{1-2(-2)+1-1}{\sqrt6} \right|\\
    =\frac{5}{\sqrt6}\\
    \approx 2,04$

    Lösung: der Abstand der Gerade $g$ von der Ebene $E$ beträgt etwa 2,04.

    Für den Fall dass du den Abstand Gerade Ebene in Parameterform berechnen musst, ist das verfahren aufwändiger, weil du die Parametergleichung zunächst in eine Koordinatengleichung umwandeln musst. Wie das funktioniert erfährst du im Video Abstand zwischen Gerade und Ebene in Parameterform berechnen.

     

 
 
 
 

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