Abstand Kugel Ebene (in Koordinatenform) berechnen

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Abstand Kugel Ebene (in Koordinatenform) berechnen

Der Aufgabentyp „Abstand Kugel Ebene berechnen“ ist eine gängige Variante des Aufgabentyps Abstand Punkt Ebene bestimmen, denn die Vorgehensweise ist im Prinzip dieselbe, außer dass zum Schluss noch der Radius der Kugel berücksichtigt werden muss. Hier findest du alle Details zu diesem Aufgabentyp.Der Abstand zwischen einer Kugel und einer Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen Kugel und Ebene. Das machst du in zwei Schritten: Zuerst bestimmst du die Entfernung $d$ des Kugelmittelpunkts zur Ebene. Dabei gibt es drei Fälle:

  1. $d < r$: Die Kugel durchdringt die Ebene, d. h. der Abstand ist null.
  2. $d = r$: Die Kugel berührt die Ebene in genau einem Punkt. Auch in diesem Fall ist der Abstand null.
  3. $d > r$: Die Kugel berührt die Ebene nicht. Der Abstand ist $d − r$ (Abstand Kugelmittelpunkt Ebene minus Radius).

Im zweiten Schritt bestimmst du dann den Abstand Kugel Ebene (sofern Fall 3 vorliegt), indem du den Radius abziehst.

Sehen wir uns dazu eine Beisielaufgabe an:
Wie weit ist die Kugel vom Radius $r=2$ mit Mittelpunkt $M(5|3|1)$ von Ebene $E$ mit der Gleichung $2x-y-z=-1$ entfernt?

Schritt 1: Entfernung des Kugelmittelpunkts von der Ebene berechnen
Der Kugelmittelpunkt ist angegeben: $M(5|3|1)$. Wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform bestimmt, wird ausführlich im Video Abstand Punkt Ebene erklärt. Du bestimmst zunächst die Länge des Normalenvektors $\overrightarrow{n}= \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\-1\end{array}\right)$ (s. hierzu das Video Betrag eines Vektors), der sich aus den ersten drei Koeffizienten der Ebenengleichung $E:2x-1y-1z+1=0$ zusammensetzt:
$\left|\overrightarrow{n}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\-1\end{array}\right)\right|
= \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}
= \sqrt6$
Die Koordinatengleichung der Ebene wird durch diese Länge geteilt, um die Hesse’sche Normalform zu erhalten:
$E: \frac {2x-y-z+1}{\sqrt6}=0$
Den Abstand des Punktes $M(5|3|1)$ von dieser Ebene erhalten wir durch Einsetzen der Koordinaten von $M$ in die linke Seite dieser Gleichung (Betragstriche nicht vergessen!):

$D(E,M)= \left|\frac{2\cdot5-1\cdot3-1\cdot1+1}{\sqrt 6}\right|\\
= \frac{7}{\sqrt6}\\
= \frac76 \sqrt6\\
\approx 2,858$

Schritt 2: Abstand Kugel Ebene bestimmen
Die Kugel hat den Radius 2. Nach Schritt 1 ist der Mittelpunkt mehr als 2 Einheiten von der Ebene entfernt, nämlich $d\approx 2{,}858$.
Somit ist der Abstand der Kugel zur Ebene die Differenz aus der Entfernung $d$ und dem Radius $r$, also $frac 76\sqrt 6-2\approx 0{,}858$.

Lösung: Der Abstand Kugel Ebene beträgt etwa $0{,}858$ Einheiten.

 

 
 
 
 

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