Abstand Punkt Ebene (in Koordinatenform) berechnen

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Abstand Punkt Ebene (in Koordinatenform) berechnen

Beim Aufgabentyp „Abstand Punkt Ebene“ aus dem Themenkomplex der Lagebeziehungen handelt es sich um eine Standardaufgabe im Abitur. Bei Abstandsberechnungen mit Ebenen beginnst du immer am besten mit der Umwandlung der Ebenengleichung in die Hesse’sche Normalform, um dann die Punktkoordinaten in die Hesseform einzusetzen.

Dazu eine Beispiel-Aufgabe:

Berechne den Abstand des Punktes $P(0|4|2)$ von der Ebene $E$ mit der Gleichung $2x-y-z=1$.

Schritt 1: Ebene in die Hesse’sche Normalform umwandeln

Um eine Ebene von Koordinatenform in Hesse’sche Normalform umzuwandeln, bildest du zunächst einen Normalenvektor aus den ersten drei Koeffizienten der Koordinatengleichung $2x-y-z=1$, also
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\-1\end{array}\right)$ und bestimmst dessen Länge
(s. dazu auch das Video Betrag eines Vektors):
$\overrightarrow{n}=\left|\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\-1\end{array}\right) \right|
=\sqrt {2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}=\sqrt6$

Dann formst du die vorgegebene Koordinatengleichung so um, dass auf der rechten Seite null steht (also $2x-y-z-1=0$) und teilst durch die eben berechnete Länge des Normalenvektors:
$E: \frac {2x-y-z-1}{\sqrt6}=0$.
Jetzt liegt die Gleichung in Hesse’scher Normalform vor.

Schritt 2: Punktkoordinaten in Hesse’sche Normalform einsetzen

Um jetzt den Abstand des Punktes $P (0|4|2)$ von der Ebene $E$ zu berechnen, brauchst du nur dessen Koordinaten in die linke Seite der Koordinatengleichung einzusetzen.
Setze also $x = 0$, $y = 4$ und $z = 2$ in $\frac {2x-y-z-1}{\sqrt6}$ ein und du erhältst
$\frac {2 \cdot 0-4-2-1}{\sqrt6}= \frac{-7}{\sqrt6}\\
= -\frac76\sqrt6$.

Der Betrag dieses Ergebnisses ist der Abstand des Punktes $P$ zur Ebene $E$:
$d(P, E)=\left| -\frac76\sqrt6\right| = \frac76\sqrt6 \approx 2,86$

Lösung

Der Abstand Punkt Ebene beträgt $\frac76\sqrt6 \approx 2,86$.

Für den Fall, dass die Ebene in Parameterform vorgegeben wird, musst du zunächst die Parametergleichung in die Hesseform umwandeln. Das ist aufwändiger als die Umwandlung der Koordinatenform in die Hesse’sche Normalform. Wie du bei der Abstandsberechnung von Punkt und Ebene in Parameterform vorgehst, erfährst du Schritt für Schritt im Video Abstand zwischen Punkt und Ebene in Parameterform berechnen.

 

 
 
 
 

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