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Abstand Punkt Gerade berechnen

Der Aufgabentyp „Abstand Punkt Gerade berechnen“ gehört zum Themengebiet der Abstände und Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum, einem der wichtigsten Themen in der Geometrie der Oberstufe. Steigen wir direkt mit einer Beispielaufgabe ein:
Betrachtet werden die Gerade $g$ mit der Gleichung $g: \overrightarrow {X}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2 \\9\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-6\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$ und der Punkt $P(4|7|5)$. Bestimme den Abstand von $P$ zu $g$.
Bei dieser Aufgabe ist ganz schlicht der Abstand eines Punktes zu einer Gerade im dreidimensionalen Raum gefragt. Oft tritt diese Fragestellung bei Abiturprüfungen in veränderter Form auf, denn dann muss das mathematische Modell auf einen Sachzusammenhang angewendet werden. Es gibt noch einen einfacheren Spezialfall, bei dem die Gerade parallel zu einer Koordinatenachse verläuft. In diesem Fall gibt es eine schnelle Abkürzung für die Lösung, s. Bemerkung weiter unten. Jetzt aber erst einmal zur Lösung dieser Aufgabe.

Schritt 1: Nächstliegenden Geradenpunkt bestimmen
Im ersten Schritt bestimmst du den Punkt auf der Gerade (wir nennen ihn hier $Q$), der dem vorgegebenen Punkt $P$ am nächsten liegt. Dieser hat folgende Eigenschaft: Der Verbindungsvektor von $Q$ nach $P$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Gerade. Wie sich das anschaulich darstellen lässt, erfährst du im Lösungscoach.
Da der Punkt $Q$ auf der gerade $g$ liegt, gibt es ein $\lambda \in \mathbb{R}$, so dass $g: \overrightarrow {OQ}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2 \\9\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2+2\lambda\\ 2+1\lambda\\9-6\lambda\end{array}\right)$ gilt.
Wir erhalten
$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{QP} \\= \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ} \\
= \left(\begin{array}{c}4\\7\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2+2\lambda\\2+1\lambda\\9-6\lambda\end{array}\right)\\
= \left(\begin{array}{c}6-2\lambda\\ 5-\lambda\\-4+6\lambda\end{array}\right)$

Dieser Verbindungsvektor soll senkrecht auf dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ von $g$ stehen, wobei $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\1\\-6\end{array}\right)$ ist. Die Orthogonalität zweier Vektoren prüfst du mit dem Skalarprodukt:

$\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{w}$ ⇔ $\overrightarrow \circ\overrightarrow{w}=0$

Wir setzen die entsprechenden Werte ein, lösen nach $\lambda$ auf und erhalten $\lambda=1$.
Setzen wir dieses $\lambda$ in die Geradengleichung ein, so erhalten wir den Ortsvektor des Punktes $Q$, der $P$ am nächsten liegt.
$\overrightarrow{OQ}=\left(\begin{array}{c}-2\\2\\ 9\end{array}\right) + 1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\3\end{array}\right)$

Schritt 2: Abstand Punkt Gerade berechnen
Der Abstand von $P$ zur Gerade $g$ ist genau der Abstand von $P$ zu $Q$ (s. hierzu das Video „Abstand zweier Punkte berechnen“), also
$d(P,g)=d(P,Q)=\left|\overrightarrow{PQ}\right|\\
=\left|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\right|\\
=\left|\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\5\end{array}\right)\right|\\
= \left|\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\-2\end{array}\right)\right|
=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{36}\\=6$

Lösung: Der Abstand Punkt Gerade beträgt 6 Längeneinheiten.

Bemerkung:
Wie oben erwähnt, wird der Abstand Punkt Gerade oft gefragt, für den Fall, dass die Gerade parallel zu einer Koordinatenachse verläuft. In diesem Fall kann man sich obige Rechnung sparen, im Idealfall den Abstand Punkt Gerade sogar aus einer sauberen Skizze ablesen. Betrachten wir die Gerade $g: \overrightarrow {X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\3\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\0\end{array}\right); \lambda \in \mathbb{R}$, die parallel zur $y$-Achse verläuft, und den Punkt $P(3|3|3)$. Alle Punkte der Gerade haben haben dieselbe $x$-Koordinate (nämlich 1) und dieselbe $z$-Koordinate (nämlich 3). Es kann also nur die $y$-Koordinate variieren und der Geradenpunkt, der dem Punkt $P(3|3|3)$ am nächsten liegt, muss derjenige mit der gleichen $y$-Komponente wie $P$ sein, also 3. Dieser Geradenpunkt ist $Q(1|3|3)$ und dessen Abstand zu $P$ ist 2. Anschaulich dargestellt findet du diesen Sachverhalt in unserem interaktiven 3D-Lösungscoach passend zum Video.

 

 
 
 
 

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