Abstand zweier Punkte berechnen

Beim Aufgabentyp „Abstand zweier Punkte berechnen“ aus dem Themenkomplex der Lagebeziehungen geht es um die einfachste Abstandsbestimmung in der dreidimensionalen Geometrie, nämlich die Berechnung des Abstands zweier Punkte über die Länge des Verbindungsvektors. Diese Standardaufgabe aus der Vektorrechnung wird immer wieder im Abitur verlangt.
Sehen wir uns dazu eine Anwendungsaufgabe an:
Die Positionen zweier U-Boote seien gegeben durch die Punkte $P(20|−30|−80)$ und $Q(60|10|−20)$ in einem kartesischen Koordinatensystem mit Grundeinheit $1\,\ m$.
Berechne den Abstand zwischen den U-Booten.

Schritt 1: Verbindungsvektor berechnen
Vorgegeben sind die Punkte $P(20|−30|−80)$ und $Q(60|10|−20)$ mit Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}20\\ -30\\-80\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{OQ}=\left(\begin{array}{c}60\\ 10\\-20\end{array}\right)$ Der Verbindungsvektor von $P$ nach $Q$ ist die Differenz der Ortsvektoren:

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$
$= \left(\begin{array}{c}20\\-30\\-80\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}60\\ 10 \\-20\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}20-60\\ -30-10\\80-(-20)\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\-60\end{array}\right)$

Schritt 2: Länge des Verbindungsvektors berechnen
Um jetzt den Abstand zweier Punkte $P$ und $Q$ auszurechnen, berechnest du die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$:

$d(P,Q) = \left|\overrightarrow{PQ} \right|\\
= \left |\left(\begin{array}{c}-40\\-40\\-60\end{array}\right)\right|\\
= \left|-20 \right| \cdot \left | \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\3\end{array}\right)\right|\\
= 20 \cdot \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2}\\
= 20 \cdot \sqrt {17}\\
\approx 82,462$

Damit haben wir den Abstand zweier Punkte berechnet und können jetzt den Antwortsatz notieren:
Die beiden U-Boote sind ca. $82{,}5\,\ m$ voneinander entfernt.