Achsenabschnittsform einer Ebene aus den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen bestimmen

Die Achsenabschnittsform ist eine Koordinatengleichung, die einen schnellen Einblick in die Lage der Ebene bezüglich des Koordinatensystems gibt. Aus der Achsenabschnittsform kannst du sofort die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen und damit das Spurdreieck ablesen ablesen, was zum Skizzieren einer Ebene sehr nützlich ist. Normalerweise ist es mühselig, die Koordinatengleichung einer Ebene zu bestimmen. Aber wenn die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bekannt sind, dann geht das relativ schnell und einfach. Hier lernst du, wie du vorgehst.

Im Abitur gibt es drei gängige Formen von Ebenengleichungen: Ebenengleichugen in Parameterform, die Hesse’sche Normalform und die hier behandelte Achsenabschnittsform. Die letzten beiden sind Koordinatengleichungen, d. h. in ihnen tauchen nur die Koordinaten $x$, $y$ und $z$ (bzw. $x_1$, $x_2$ und $x_3$) und keine Parameter wie $\lambda$ und $\mu$ (oder $s$ und $t$) auf.

Sehen wir uns zur Bestimmung Achsenabschnittsform einer Ebene aus den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen eine Beispielaufgabe an:
Die Ebene $E$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $A(2|0|0)$, $B(0|1|0)$ und $C(0|0|4)$. Gib eine Gleichung von $E$ in Achsenabschnittsform an.

Zur Lösung dieser Aufgabe musst du relevante Koordinaten der Schnittpunkte als Nenner einsetzen. Im Allgemeinen hat die Koordinatengleichung einer Ebene die Form
$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z=d$,
wobei $a$, $b$, $c$ und $d$ reelle Konstanten sind. Falls alle diese Konstanten ungleich Null sind, dann kann man die Gleichung durch $abcd$ teilen und erhält
$\frac{x}{bcd}+\frac{y}{acd}+\frac{z}{abd}=1$,
was man durch die Einführung neuer Konstanten $a’=bcd$, $b’=acd$ und $c’=abd$ zu $\frac{x}{a‘}+\frac{y}{b‘}+\frac{z}{c‘}=1$ vereinfachen kann. Das ist nun die Achsenabschnittsform, aus der man sofort die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen kann (Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse erhält man durch Einsetzen von $y = 0$ und $z = 0$ in die Gleichung, analog
erhält man die übrigen Schnittpunkte):

• Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist $(a’|0|0)$
• Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0|b’|0)$
• Der Schnittpunkt mit der $z$-Achse ist $(0|0|c‘)$

Um die Konstanten $a’$, $b’$ und $c’$ für die vorliegende Ebene $E$ zu bestimmen, brauchen wir also nur die relevanten Koordinaten aus den vorgegebenen Schnittpunkten abzulesen.

• Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist $(2|0|0)$ → $a’=2$
• Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $(0|b’|0)$ → $b’=1$
• Der Schnittpunkt mit der $z$-Achse ist $(0|0|c‘)$ → $c’=4$

Einsetzen in die Achsenabschnittsform liefert uns die gesuchte Gleichung:
$E:\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{4}=1$