Allgemeine Sinusfunktion: Parameterbestimmung

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Kristina von TOUCHDOWN am 05.09.2018

Hallo luise_ka. Danke für dein nettes Feedback! Noch mehr Informationen zur Sinusfunktion erhältst du im Video "Nullstellen der Sinusfunktion bestimmen". Du findest es im Kurs Kurvendiskussion: Basiswissen.

luise_ka am 04.09.2018

Endlich mal eine gute Zusammenfassung über alles zur Sinusfunktion!! Danke!!

 

Weitere Videos im Kurs

 
 

Allgemeine Sinusfunktion: Parameterbestimmung

Parameter der allgemeinen Sinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen. Die normale Sinusfunktion ohne Parameter hat die Funktionsgleichung $y=\sin{x})$. Durch die Verwendung von Parametern kann die Sinusfunktion modifiziert werden. Bei Steckbriefaufgaben zur Sinusfunktion sind die Parameter Winkelgeschwindigkeit, Verschiebung, Streckung bzw. Stauchung und Phasenverschiebung wichtig. Die allgemeine Sinusfunktion hat den Funktionsterm $c \cdot \sin (a \cdot x +d) + b$. Oft kann man die Parameter ($a$, $b$, $c$ und $d$) des Funktionsterms direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen, denn jeder Parameter hat eine anschauliche Bedeutung für den Graphen der Funktion.
$a$ bezeichnet die Winkelgeschwindigkeit, $b$> die Verschiebung in $y$-Richtung, $c$ den Streckfaktor und $d$ die Verschiebung in $y$-Richtung.
Übersicht und Veranschaulichung

Die folgende Tabelle fasst diese Informationen noch einmal übersichtlich zusammen:

Parameter Name geometrische Bedeutung
$a$ Winkelgeschwindigkeit Anzahl der Perioden pro Intervall der Breite $2\pi$
$b$ vertikale Verschiebung Verschiebung in $y$-Richtung = mittlere Höhe zwischen Maxima und Minima
$c$ Streckfaktor $|c|$ = Amplitude (Ausschlagshöhe) = Abstand der Maxima zur waagrechten Mittellinie
$d$ Phasenverschiebung horizonale Verschiebung(in $x$-Richtung)

Eine wichtige Kenngröße beim Thema allgemeine Sinusfunktion, die eng mit der Winkelgeschwindigkeit zusammenhängt, ist die Periode $P$ der Funktion. Sie bezeichnet den Abstand zweier benachbarter Maxima. Der Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Periode wird durch die sogenannte Periodenformel gegeben:

$P=\left|\frac{2\pi}{a} \right|$

Die folgende Abbildung veranschualicht die Kenngrößen $a$, $b$, $c$ und $d$ aus der obigen Tabelle:


Beispielaufgabe

Der Funktionsterm von $f$ hat die Form $f(x)=\sin(a\cdot x)+b$ für geeignete Konstanten $a$ und $b$, wobei $a\in\mathbb{N}$ und $2b\in\mathbb{Z}$ ist. Bestimme die Werte von $a$ und $b$.


Schritt 1: Vertikale Verschiebung

Als erstes musst du die Höhe der Mittellinie des Graphen ablesen: sie liegt genau mittig zwischen den Hochpunkten und den Tiefpunkten.

$b= \text{Höhe der Mittellinie}\\
=\frac 12({1{,}5}+(-0{,}5))\\
=0{,}5$.

Bemerkung:
Der gerade berechnete Wert $b=0{,}5$ gründet auf der Annahme, dass wir die Höhe der Mittellinie exakt abgelesen haben. Da weder die Graphik noch das menschliche Auge unendlich genau sein kann, wurde in der Aufgabenstellung darauf hingewiesen, dass $2b\in\mathbb{Z}$, also ganzzahlig ist. Der abgelesene Werte $0{,}5$ ist damit der einzige, der für $b$ in Frage kommt.

Schritt 2: Weitere Parameter der Sinusfunktion

Um den noch fehlenden Parameter $a$ (die Winkelgeschwindigkeit) zu bestimmen, liest du zuerst die Periodenlänge aus der Graphik ab: das ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Minima.

Diese Funktion hat also die Periodenlänge $P=\pi$. Um daraus die Winkelgeschwindigkeit zu berechnen, brauchst du die Periodenformel $P=\left|\frac{2\pi}{a}\right|$, die du nach dem gesuchten Parameter $a$ auflöst:

$P=\left|\frac{2\pi}{a}\right|\qquad \big|\;\cdot |a|\\
\Leftrightarrow |a|P=2\pi\qquad |\;:P\\
\Leftrightarrow |a|=\frac{2\pi}{P}$

Laut Aufgabenstellung ist $a\in\mathbb{N}$, also insbesondere positiv. Wir können also die Betragstriche weglassen und erhalten:

$a=\frac{2\pi}{P}=\frac{2\pi}{\pi}=2$.

Lösung

Die gesuchten Parameter lauten $a=2$ und $b=0{,}5$. Das heißt, die allgemeine Sinsufunktion $f$ hat den Funktionsterm
$f(x)=\sin(2x)+0{,}5$.

 

 
 
 
 

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