Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen mit Zurücklegen

Bewerten
Kommentieren
 

Bewertung

0/5 Sterne
0 Bewertungen
 

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

 
 
 

Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen mit Zurücklegen

Die erste der drei wichtigsten kombinatorischen Formeln für das Abitur zählt die Möglichkeiten beim mehrfachen Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge. Hier lernst du, wie’s geht.

Aufgabe

Eine dreistellige Zufallszahl wird folgendermaßen bestimmt: In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit den Ziffern von 3 bis 6 beschriftet sind. Die erste Ziehung aus der Urne bestimmt die erste Ziffer der Zufallszahl, die gezogene Kugel wird dann wieder in die Urne zurück gelegt. Genauso werden die weiteren Ziffern der Zufallszahl bestimmt.

Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Wahl der Zufallszahl?

Lösungsansatz

Das geschickte Zählen ist Gegenstand der Kombinatorik, die z. B. bei der Formel von Laplace in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Verwendung findet. Die folgenden drei Grundformeln der Kombinatorik werden dabei sehr häufig gebraucht, die solltest du jeder Zeit parat haben:

  • Anzahl der Möglichkeiten beim $k$-maligen Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit $n$ unterscheidbaren Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge: $n^k$
  • Anzahl der Möglichkeiten beim $k$-maligen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit $n$ unterscheidbaren Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge: $\binom{n}{k}$
  • Anzahl möglicher Anordnungen von $n$ unterscheidbaren Objekten: $n!$

Die Schwierigkeit bei Kombinatorik-Aufgaben liegt meistens darin, aus der Aufgabenstellung die Bedingungen für die Wahl der richtigen Formel herauszulesen. Folgende Fragen können da
helfen:
Welche Objekte müssen gezählt werden und zwischen welchen Objekten wird unterschieden? → $n$
Kann dasselbe Objekt mehrfach gezählt werden? → Ziehen mit Zurücklegen oder Ziehen ohne Zurücklegen
Spielt die Reihenfolge der gewählten Objekte eine Rolle? → ggf. Faktor $n!$ einbauen

Formel für Ziehen mit Zurücklegen anwenden

Es gibt bei jeder Ziehung vier Möglichkeiten für die gezogene Kugel, nämlich 3, 4, 5 und 6. Für jede der vier möglichen Ausgänge der ersten Ziehung gibt es wiederum vier mögliche Ausgänge
der zweiten Ziehung, d. h. für die ersten zwei Ziehungen gibt es 4 · 4 = 16 Möglichkeiten. Jede davon liefert bei der dritten Ziehung wiederum vier Möglichkeiten für das Ergebnis nach drei
Ziehungen. Kurzum multipliziert jede Ziehung die Gesamtzahl der Möglichkeiten mit 4, d. h. für dreimaliges Ziehen gibt es
$4\cdot4\cdot4=4^3=64$ Möglichkeiten.

Die allgemeine Formel für $k$-maliges Ziehen mit $n$ möglichen Ausgängen pro Ziehung lautet $= n^k$.

Lösung

Es gibt $64$ Möglichkeiten für die Wahl der Zufallszahl.

 

 
 
 
 

Jetzt einloggen


Passwort vergessen?
 

Durch die weitere Nutzung der Seite stimmen Sie der Verwendung von Cookies zu. Weitere Informationen

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close