Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen

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Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen

Eine wichtige kombinatorische Formeln für das Abitur ist die Formel für die Berechnung der Anzahl der  Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen. Sie zählt die möglichen Anordnungen einer festen Zahl von Objekten. Hier lernst du wie’s geht.

Aufgabe

Aus einem 20-köpfigen Chor müssen für den nächsten Auftritt vier Solisten ausgewählt werden.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zusammensetzung der Solisten?

Lösungsansatz

Den Chor kann man vergleichen mit einer Urne mit 20 unterscheidbaren 2 Kugeln. Bei Aufgaben aus der Kombinatorik ist es immer wichtig zu wissen, ob und zwischen welchen Objekten unterschieden
wird. Personen werden immer unterschieden, wenn nichts Gegenteiliges ausdrücklich festgelegt wird. Die Auswahl der vier Solisten entspricht einer viermaligen Ziehung aus der Urne, wobei die Kugeln nicht zurück gelegt werden (jedes Mitglied kann höchstens einmal unter den Solisten vertreten sein). Außerdem kommt es nicht auf die Reihenfolge an, sondern nur darum, wer Solist ist und wer nicht (es gibt keinen 1., 2. oder 3. Solisten).

Formel für Ziehen ohne Zurücklegen anwenden

Für die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge k Stück auszuwählen, gibt es eine feste Formel, nämlich
$\displaystyle=\binom{n}{k}$ (sprich $k$ aus $n$)

Dabei ist $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient, eine nützliche Abkürzung für $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ wobei $n!=n\cdot(n-1)\cdot…\cdot1$.

In unserem Fall werden 4 Chormitglieder aus 20 ausgewählt, also ist die Anzahl der Möglichkeiten
$\binom{20}{4} = \frac {20!}{4! (20-4!)}\\
= \frac {20!}{16!} \cdot \frac {1!}{4!}\\
= \frac {20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\
= 5 \cdot 19 \cdot 3 \cot 17\\
= 4845$

Lösung

Es gibt 4845 Möglichkeiten für die Wahl der Solisten.

 

 
 
 
 

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