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Asymptoten berechnen

Was sind Asymptoten?

Asymptoten einer Funktion sind Geraden, denen sich der Funktionsgraph annähert. Hier lernst du die wichtigsten Methoden zur Bestimmung von Asymptotengleichungen kennen. Es werden die drei Typen waagerechte, senkrechte und schräge Asymptoten behandelt.

Die ersten beiden Typen kommen im Abitur am häufigsten dran, typischer weise im Zusammenhang mit rationalen Funktionen (rationale Funktionen sind solche, die als Funktionsterm einen Bruch haben, dessen Zähler und Nenner jeweils aus Potenzfunktionen zusammengesetzt sind). Auch die Beispielaufgabe im Video behandelt eine rationale Funktion.

Am einfachsten zu bestimmen sind die senkrechten Asymptoten – sie beschreiben die Definitionslücken der Funktion.

Waagerechte Asymptoten stellst du über die Grenzwerte $\lim_{x\to\infty}f(x)$ und $\lim_{x\to -\infty}f(x)$ fest.

Schräge Asymptoten tauchen üblicherweise dann auf, wenn der Funktionsterm ein Bruch ist, bei dem Zähler und Nenner jeweils Polynome (ganzrationale Funktionen) sind, wobei der Grad des Zählers um eins höher ist als der Grad des Nenners.

Grafische Veranschaulichung

Waagerechte Asymptoten:

Die grün gestrichelte Gerade ist eine Asymptote der roten Kurve, denn für $x \to \infty$ und für $x \to -\infty$ nähert sich der rote Graph immer mehr der grünen Linie.

Senkrechte Asymptoten:

Die blau gestrichelte Linie ist eine Asymptote der roten Kurve, denn für $x \to -1$ nähert sich der rote Graph immer mehr der blauen Linie.

Schräge Asymptoten:

Die grün gestrichelte Gerade ist eine Asymptote des roten Graphen, weil sich dieser für $x \to \infty$ und für $x \to -\infty$ immer näher an die grüne Linie anschmiegt.

Aufgabe: Asymptoten berechnen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2-1}$ und maximalem Definitionsbereich $D_f$. Bestimme alle Asymptoten von $G_f$.
Schritt 1: Senkrechte Asymptoten

Die Gleichungen senkrechter Asymptoten sind immer von der Form $x=a$ für irgendeine reelle Zahl $a$.
Senkrechte Asymptoten können nur vorkommen, wenn die Funktion Definitionslücken hat, also nicht auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist, also untersuchst du die Funktion auf definitionslücken. Dazu musst du wissen, wie man den maximalen Definitionsbereich einer Funktion bestimmt. Unser vorgegebener Funktionsterm ist ein Bruch, das heißt die Definitionslücken sind genau dort, wo der Nenner null wird.

$^2-1=0$ ⇔ $x^2=1$
⇔ $x=-1$ oder $x=1$

Ist der Zähler des Bruchs an diesen Stellen ungleich null, so liegen hier zwei senkrechte Asymptoten vor. Wenn Zähler und Nenner an einer Stelle beide null werden, dann muss das Grenzverhalten mit der Regel von de l’Hospital untersucht werden.
Bei $x=-1$ ist der Zähler $(-1)^2-(-1)+1=3\neq 0$ und bei $x=1$ ergibt sich $1^2-1+1=1\neq 0$. In beiden Fällen ist also der Zähler ungleich null und der Nenner gleich null.
Somit haben wir die Gleichungen zweier senkrechter Asymptoten von $G_f$ ermittelt, nämlich $x=-1$ und $x=1$.

Schritt 2: Waagerechte Asymptoten

Waagerechte Asymptoten haben immer eine Gleichung der Form $y = a$ für irgendeine reelle Zahl $a$.
Zur Prüfung auf waagerechte Asymptoten untersuchst du im zweiten Schritt das Verhalten der Funktion im Unendlichen. Dazu bestimmst du die Grenzwerte von $f(x)$ für $x$ gegen Unendlich und $x$ gegen Minus Unendlich berechnet. Wie das generell funktioniert, erfährst du im Video Einfache Grenzwerte berechnen. Da hier Zähler und Nenner beide gegen 0 konvergieren, müssen wir allerdings die Regel von de l’Hospital anwenden.

$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\overbrace{x^2-x+1}^{\to\infty}}{\underbrace{x^2-1}_{\to\infty}}$| Zähler und Nenner ableiten
$=\lim_{x\to\infty}\frac{\overbrace{2x-1}^{\to\infty}}{\underbrace{2x}_{\to\infty}}$ | Zähler und Nenner erneut ableiten
$=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{2}\\
=1$

Daraus folgt, dass die Gerade mit der Gleichung $y=1$ eine Asymptote von $G_f$ ist.

Tipp:
Mit folgendem Trick kommt man schneller an waagrechte Tangenten: Sind Zähler und Nenner ganzrationale Funktionen vom selben Grad, so errechnet sich der $y$-Wert der waagrechten Asymptote, indem man nur die führenden Terme berücksichtigt. In diesem Fall haben Zähler und Nenner beide den führenden Term $x^2$ mit Leitkoeffizient 1, also ist die waagrechte Asymptote $y=\dfrac{x^2}{x^2}=\dfrac 11=1$.

Schritt 3: Schräge Aysmptoten

Im dritten Schritt steht die Überprüfung auf schräge Asymptoten an, die immer eine Gleichung der Form $y=m\cdot x+t$ mit $m\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $t\in\mathbb{R}$ haben. Bei rationalen Funktionen wie der vorliegenden kann man schnell erkennen, ob es eine schräge Asymptote gibt, dazu muss man den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners vergleichen (Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist der höchste vorkommende Exponent der Variable, z. B. hat $3x^4-2x^2+1$ den Grad $4$ ):

  • Ist der Grad des Zählers um 1 größer als der Grad des Nenners, dann gibt es (mindestens) eine schräge Asymptote.
  • Ist der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners, so gibt es keine schräge, aber dafür genau eine waagerechte Asymptote.
    Falls der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners, so handelt es sich dabei um die waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0$.
  • In allen anderen Fällen (d.h. wenn der Grad des Zählers um mindestens 2 größer ist, als der Grad des Nenners) gibt es weder eine waagerechte, noch eine schräge Asymptote.

Im vorliegenden Fall haben Nenner und Zähler beide den Grad 2, d. h. es liegen keine schrägen Asymptoten vor. Im Lösungscoach erfährst du der Vollständigkeit halber, wie du die Gleichung einer schrägen Asymptote bestimmst.

Lösung

Der Graph der Funktion $f$ hat die senkrechten Asymptoten $x=-1$ und $x=1$ sowie die waagerechte Asymptote $y=1$.

 

 
 
 
 

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