Brüche auf den Hauptnenner bringen

Der Hauptnenner zweier Brüche ist der kleinste Nenner, den zwei Brüche nach dem Brüche erweitern oder Brüche kürzen haben können. Manchmal kann man einen der beiden Brüche so erweitern, dass er denselben Nenner hat wie der andere, z. B. bei $\frac 34\,(=\!\frac 9{12})$ und $\frac 3{12}$. In dem Fall ist der Hauptnenner einfach der größere der beiden Nenner. Der Hauptnenner heißt auch „kleinster gemeinsamer Nenner“. Ein gemeinsamer Nenner zweier Brüche wird zum Beispiel dann benötigt, wenn man Brüche addieren oder der Größe nach ordnen will.
Will man zwei Brüche auf den Hauptnenner bringen, so werden die beiden Brüche im ersten Schritt so weit wie möglich gekürzt, im zweiten Schritt müssen gemeinsame Teiler der Nenner gefunden werden. Der nächste Schritt ist die Bestimmung des Hauptnenners. Schließlich müssen im letzten Schritt beide Brüche auf den Hauptnenner erweitert werden. Gehen wir die Schritte an folgendem Beispiel durch: Bringen Sie die beiden Brüche $\dfrac{4}{15}$ und $\dfrac{4}{18}$ auf den Hauptnenner, so stellen wir beim ersten Schritt fest, dass der erste Bruch $\left(\dfrac{4}{15}\right)$ nicht gekürzt werden kann, weil 4 und 15 teilerfremd sind. Das bedeutet, dass es keine natürliche Zahl außer der Eins gibt, die beide Zahlen ohne Rest teilen. Beim zweiten Bruch $\left(\dfrac{4}{18}\right)$ sind Zähler und Nenner beide gerade, also können wir mit 2 kürzen: $\frac{4}{18} = \frac{4}{18}$. Mit diesem einfacheren Bruch rechnen wir jetzt weiter und versuchen im zweiten Schritt, gemeinsame Teiler der beiden Nenner 15 und 9 zu finden. Beide Zahlen sind durch 3 teilbar, denn $15:3=5$ und $9:3=3$. Wir haben also 3 als gemeinsamen Teiler identifiziert. Das ist auch der einzige gemeinsame Teiler, denn die Ergebnisse 5 und 3 sind teilerfremd. Jetzt können wir den Hauptnenner berechnen, indem wir zunächst den Nenner des ersten Bruchs durch den gemeinsamen Teiler 2 teilen. $15 : 3 = 5$. Dieses Ergebnis wird mit dem Nenner des (vereinfachten) zweiten Bruchs multipliziert. $5 \cdot 9 = 45$. Der Hauptnenner der beiden Brüche ist also 45. Im letzten Schritt müssen beide Brüche so erweitert werden, dass sie den Nenner 45 haben. Den zugehörigen Erweiterungsfaktor bestimmt man, indem der gewünschte Nenner (45) durch den aktuellen Nenner geteilt wird. Beim ersten Bruch $\left(\dfrac{4}{15}\right)$ ist der Nenner 15 und $45:15=3$. Also müssen wir diesen Bruch mit 3 erweitern:
\[\frac 4{15}=\frac{4\cdot 3}{15\cdot 3}=\frac{12}{45}.\]
Der zweite Bruch $\left(\dfrac{2}{9}\right)$ hat den Nenner 9 und $45:9=5$. Also müssen wir diesen Bruch mit 5 erweitern:
\[\frac{2}{9}=\frac{2\cdot 5}{9\cdot 5}=\frac{10}{45}.\]