Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

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Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Bedingte Wahrscheinlichkeiten gehören zum Standardprogramm für die Stochastik-Aufgaben im Abitur. Du berechnest die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B eintritt. Oft werden solche Aufgaben im Zusammenhang mit Produktionsverfahren und der Frage nach einer bestimmten Ausschussquote gestellt.
Dieses Video erklärt anhand eines solchen Beispiels, wie du die Formel zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten anwendest.

Aufgabe

Ein Reifenhersteller produziert Sommer- und Winterreifen jeweils mit einer bestimmten Ausschussquote. $0{,}12\,\%$ aller produzierten Reifen sind fehlerhafte Sommerreifen. Insgesamt sind $60\,\%$ der Produktion Sommerreifen.
Wie hoch ist die Ausschussquote bei den Sommerreifen?

Lösungsansatz

Die Ausschussquote der Sommerreifen ist der Anteil der Sommerreifen, die fehlerhaft sind. Anders ausgedrückt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein Reifen fehlerhaft ist, unter der Bedingung, dass es sich um ein Sommerreifen handelt. In der Mittelstufe wäre üblicherweise die Gesamtzahl der produzierten Reifen vorgegeben und man könnte mit Hilfe einer Vierfeldertafel alle möglichen Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Hier bietet sich aber die Formel für die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeit an. Sie lautet folgendermaßen:

$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Dabei ist $P(A|B)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass das Ereignis $B$ eintritt. Eine andere Schreibweise für $P(A|B)$ ist $P_B(A)$.

Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeiten anwenden

Um den Lösungsweg übersichtlicher dazuzustellen, verwenden wir ab jetzt die folgenden Abkürzungen:

$S$: Sommerreifen,
$W$: Winterreifen,
$A$: Ausschuss
$\overline{A}$: kein Ausschuss.

Gesucht ist die Ausschussquote der Sommerreifen, also die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $S$:
$\displaystyle P(A|S)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)}$, wobei $P(A\cap S)$ die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass es sich zugleich um Ausschussware und um Sommerreifen (also um fehlerhafte Sommerreifen) handelt. Laut Aufgabenstellung ist also $P(A\cap S)=0{,}12\,\%$. $P(S)$ ist der Anteil der Sommerreifen an der Gesamtproduktion, also $60\,\%$. Somit ist

$P(A|S)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)}\\
=\frac{0{,}12\,\%}{60\,\%}\\
=0{,}002=0{,}2\,\%$.

Lösung

Die Ausschussquote bei den Sommerreifen beträgt $0{,}2\,\%$.

 

 
 
 
 

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