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Bernoulli-Formel bei einer Binomialverteilung anwenden

Eine wichtige Grundformel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Bernoulli-Formel. Sie sagt aus, wie wahrscheinlich es ist, bei $n$-maliger Wiederholung eines Zufallsexperiments genau $k$ Treffer zu landen. Hier erfährst du an einem Beispiel, wie die Formel von Bernoulli angewendet wird.

Aufgabe

Ein Kammerorchester bestehend aus 7 Streichern, 5 Bläsern und einem Paukenspieler wählt jedes Jahr ein Mitglied als Kassenwart. Bestimme unter der Annahme, dass alle Musiker des Ensembles mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt werden, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in den ersten 10 Jahren genau dreimal ein Bläser zum Kassenwart ernannt wird.

Lösungsansatz

Wenn ein Zufallsexperiment (hier: zufällige Wahl eines Kassenwarts) mehrmals unabhängig durchgeführt wird, spricht man von einer Bernoulli-Kette. Aufgaben dazu findest du im Abitur sehr oft. typischerweise in den folgenden Zusammenhängen:

1. Warenproduktion mit vorgegebener Ausschussquote, z. B. 5%: nach der Entnahme einer Stichprobe von z. B. 100 Stück wird gezählt, wie viele davon Ausschussware sind.
2. Wähler-Umfrage bei vorgegebener Verteilung der Stimmen/Wählerinteressen, z. B. 40% CDU, 30% SPD, 10% Grüne und 20% andere: Es werden z. B. 20 Personen befragt und von Interesse ist die Anzahl der SPD-Wähler unter diesen 20.

Oft gibt es bei jeder Durchführung eines Einzelexperiments (z. B. Befragung eines Wählers) a priori viele Möglichkeiten (etwa 4 Parteien), wobei aber eigentlich nur zwei von Interesse sind (SPD oder nicht SPD). Die Situation lässt sich damit zu einer mehrmaligen Wiederholung einer Zufallsexperiments mit nur 2 Ausgängen vereinfachen. Im Allgemeinen bezeichnet man sie als „Treffer“ und „Niete“.

Die Anzahl der Durchführungen des Einzelexperiments bezeichnen wir meistens mit $n$ und die Anzahl der Treffer mit $k$. Welche Trefferzahl $k$ mit welcher Wahrscheinlichkeit eintritt, berechnest du dann mit der Bernoulli-Formel. Die dadurch beschriebene Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung.
Die zwei häufigsten Fragestellungen zu diesem Thema sind

1. „Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Treffer eintreten“ und
2. „Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $k$ Treffer eintreten“ (oder als Variante: „mindestens“ statt „höchstens“).

Bei der vorliegenden Aufgabe handelt es sich um den ersten Typ. Der zweite behandeln wir in den Videos über zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung:
Einmal mit stochastischen Tabellen und einmal mit graphikfähigem Taschenrechner (GTR).

Schritt 1: Parameter $n$, $k$ und $p$ aus dem Sachzusammenhang herauslesen

Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, brauchen wir drei Zahlen:

1) die Anzahl $n$ der Durchführungen des Einzelexperiments (diese Zahl heißt „Länge der Bernoulli-Kette“), hier Anzahl der Wahlen, also
$n = 10$,
2. die uns interessierende Anzahl $k$ der Treffer (deren Wahrscheinlichkeit gefragt ist), hier
$k = 3$,
3. die Trefferwahrscheinlichkeit (diese Zahl wird auch Erfolgswahrscheinlichkeit genannt) $p$ im Einzelexperiment, hier Anteil der Bläser, also
$p = \frac {5}{13}$.

Schritt 2: Bernoulli-Formel anwenden

Für die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ genau $k$ Treffer eintreten, gibt es eine feste Formel, die du für das Abitur unbedingt brauchst, nämlich die sogenannte Bernoulli-Formel:

$P (genau \, k \, Treffer) = =\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k (1-p)^{n-k}$

In diese Bernoulli-Formel setzt du die in Schritt 1 notierten Parameter $n = 10$, $k = 3$ und $p = \frac{5}{13}$ ein.
Moderne Taschenrechner ermöglichen die direkte Eingabe des Binomialkoeffizienten
$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=120$.

Bei einigen älteren Modellen muss zuerst in Fakultäten umgerechnet werden (s. Lösungscoach).

Um Fehler zu vermeiden, rechnest du am besten zuerst den Binomialkoeffizienten aus und multiplizierst dann mit dem Rest (bei der Eingabe der Potenzen die Klammern nicht vergessen!):
Eingabe von $120*(5/13)^3*(1-5/13)^7$ liefert das Ergebnis $0,22818529$. Das solltest du angemessen runden, z. B. auf 3 signifikante Stellen.

Lösung

Das Ereignis, dass bei den ersten 10 Wahlen insgesamt dreimal ein Bläser zum Kassenwart ernannt wird, tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,228 = 22,8 \%$ ein.

 

 
 
 
 

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