Ein bestimmtes Integral berechnen bedeutet, die Flächenbilanz zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse zu ermitteln.
Ein bestimmtes Integral berechnen ist ein Standardfall der Flächenberechnung in Klausuren und dem Abitur, die voraussetzt, dass du die Stammfunktionen der Standardfunktionen auswendig kannst und die Formeln für die gängigsten Integrationsregeln kennst und anwenden kannst. Den Aufgabentyp bestimmtes Integral berechnen erkennst du daran, dass ein Funktionsterm vorgegeben ist und daraus eine Fläche berechnet werden soll. Die Lösung besteht darin, ein geeignetes Integral aufzustellen und zu berechnen, das im Allgemeinen so aussieht:
$\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x$

Dieses Integral besteht im Wesentlichen aus drei Bestandteilen, die du aus der Aufgabenstellung entnehmen oder zum Teil extra berechnen musst:

1. einem Integranden $f(x)$,
2. einer unteren Integrationsgrenze $a$
3. einer oberen Integrationsgrenze $b$

Anschaulich beschreibt das obige Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse oberhalb der $x$-Achse minus Fläche unterhalb der $x$-Achse), und zwar nur im Bereich zwischen den vertikalen Begrenzungslinien $x=a$ und $x=b$:

Berechne die abgebildete Fläche unter dem Graphen der Funktion
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto -x^2+3x$,
die sich von der ersten Nullstelle bei $x=0$ bis zur zweiten Nullstelle bei $x=3$ erstreckt:

Bei unserem Aufgabenbeispiel können wir die folgenden Informationen aus der Aufgabenstellung entnehmen:

1. $f(x)=-x^2+3x$
2. untere Integrationsgrenze: $a=0$
3. obere Integrationsgrenze: $b=3$

Wir sehen außerdem, dass die gesuchte Fläche komplett oberhalb der $x$-Achse liegt. Das heißt, in diesem Fall stimmt sie mit der Flächenbilanz überein, die durch das Integral $\displaystyle A=\int\limits_0^3(-x^2+3x)\mathrm{d}x$ gegeben ist.
Der Wert dieses Integrals wird jetzt in zwei Schritten berechnet:

Um ein Integral auszurechnen, brauchst du zunächst eine Stammfunktion des Integranden, also hier eine Stammfunktion von
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto -x^2+3x$.
Diese Funktion ist eine Kombination aus Vielfachen der Standardfunktionen $x^2$ und $x$. Wie man Stammfunktionen von zusammengesetzten Funktionen bestimmt, wird im Video Integrationsregeln erklärt.
Nach der Summenregel kannst du zuerst die Teilfunktionen $g(x)=-x^2$ und $h(x)=3x$ einzeln integrieren und dann die zugehörigen Stammfunktionen addieren.

Es gilt:
Stammfunktion von $x^2$: $\frac13x^3$
Stammfunktion von $x (=x^1)$: $\frac12x^2$
Wenn du diese Stammfunktionen noch nicht bilden kannst, solltest du dir zunächst das Video Standardfunktionen integrieren: Die 5 wichtigsten Stammfunktionen anschauen.

Nach der Faktorregel ist daher $G(x)=-\frac 13 x^3$ eine Stammfunktion von $g(x)=-x^2$ und $H(x)=3\cdot\frac 12 x^2=\frac 32 x^2$ eine Stammfunktion von $h(x)=3x$.

Diese zwei setzen sich zu einer Stammfunktion von $f(x)=g(x)+h(x)$ zusammen:

$F(x)=G(x)+H(x)=-\frac 13 x^3+\frac 32 x^2$.

Die eingeschlossene Fläche zwischen der Stelle $x=0$ und der Stelle $x=3$ ist die Differenz der beiden Werte der Stammfunktion bei $x=0$ und $x=3$, also
$A=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x\\
=F(3)-F(0)\qquad\left(\text{Schreibweise: }\left[F(x)\right]_0^3\right)\\
=\left(-\frac 13\cdot 3^3+\frac 32\cdot 3^2\right)-\left(-\frac 13\cdot 0^3+\frac 32\cdot 0^2\right)\\
=-\frac{27}{3}+\frac{27}{2}-0\\
=\frac{9}{2}=4{,}5$

Als Lösung gibst du im letzten Schritt an, wie viele Einheiten der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt:
$G_f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche von $4{,}5$ Einheiten ein.

Bemerkung:
Die Gleichung $A=\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x$ gilt nur, weil der Graph von $f$ im gesamten Intervall $[0;3]$ oberhalb der $x$-Achse verläuft (d.h. zwischen $x=0$ und $x=3$ gilt stets $f(x)\geq 0$). Im Allgemeinen ist $\int\limits_0^3f(x)\mathrm{d}x$ die Flächenbilanz zwischen $G_f$ und der $x$-Achse im Bereich zwischen $x=0$ und $x=3$. das bedeutet, die Fläche oberhalb der $x$-Achse minus die Fläche unterhalb der $x$-Achse. Letztere ist in diesem Fall null, daher ist das Integral gleich der gesuchten Fläche.