Brüche addieren

Brüche addieren kann man nur direkt, wenn alle zu addierenden Brüche denselben Nenner haben. Dann braucht man nämlich nur die Zähler zu addieren, zum Beispiel $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7}=\frac {5}{7}$. Sollen aber Brüche mit ungleichem Nenner addiert werden wie zum Beispiel $\frac{4}{15}+\frac{4}{18}$, müssen die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Hier wählt man am besten den Hauptnenner, auch kleinster gemeinsamer Nenner genannt. Wie das funktioniert, erfahren Sie im Video Brüche auf den Hauptnenner bringen. Man kann als gemeinsamen Nenner auch das Produkt der beiden Nenner benutzen, aber dann muss man mit größeren Zahlen rechnen und am Ende mehr kürzen.
Bei der Aufgabe $\frac{4}{15}+\frac{4}{18}$ können wir zunächst den zweiten Bruch mit 2 kürzen und erhalten $\frac{2}{9}$. Die Nenner von $\frac{4}{15}$ und $\frac{2}{9}$ sind beide durch 3 teilbar, denn $15:3=5$ und $9:3=3$. Weitere gemeinsame Teiler gibt es nicht, weil 3 und 5 teilerfremd sind (d.h. sie haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1). Der Hauptnenner ist also $(15:3)\cdot 9 = 45$.
Der erste Bruch mit dem Nenner 15 muss mit 3 erweitert werden (s. dazu auch das Video Brüche erweitern): $\dfrac{4}{15}=\dfrac{4\cdot 3}{15\cdot 3}=\dfrac{12}{45}$.
Der zweite Bruch mit dem Nenner 9 muss mit 5 erweitert werden: $\dfrac{2}{9}=\dfrac{2\cdot 5}{9\cdot 5}=\dfrac{10}{45}$.
Nachdem jetzt beide Brüche den gleichen Nenner haben, können wir im zweiten Schritt die Brüche addieren, indem wir die Zähler zusammenzählen und die Nenner beibehalten.
\begin{align*}
\frac{4}{15}+\frac{4}{18}&=\frac{12}{45}+\frac{10}{45}\\[5pt]
&=\frac{12+10}{45}\\[5pt]
&=\frac{22}{45}
\end{align*}
Dieses Ergebnis lässt sich nicht mehr kürzen, also sind wir damit fertig. Kann das Ergebnis noch gekürzt werden, muss man dies nach dem Brüche addieren noch tun.