Brüche erweitern

Brüche erweitern ist eine Technik, mit der man den Nenner eines Bruches verändern kann, ohne dass sich dessen Wert ändert. Man erweitert Brüche, um beispielsweise Brüche addieren zu können, die unterschiedliche Nenner haben oder um Brüche der Größe nach zu ordnen. Wird zum Beispiel eine Erbschaft verteilt und ein Erbe erhält $\frac{3}{7}$, ein anderer $\frac{9}{20}$, wer bekommt dann mehr? Durch Erweitern mit 3 erhält man $\frac 37=\frac 9{21}$. Da $\frac 1{21}$ kleiner ist als $\frac 1{20}$, sind $\frac 9{21}$ weniger als $\frac 9{20}$, d. h. der Erbe mit einem Anteil von $\frac 9{20}$ bekommt mehr.
Eine typische Aufgabe zum Thema Brüche erweitern lautet: Erweitern Sie den folgenden Bruch: $\dfrac{2}{3}=\ ?$ mit dem Faktor $15$. Um Erweiterungsaufgaben zu lösen, muss man Zähler und Nenner mit dem Erweiterungsfaktor multiplizieren.
Wir sollen den Bruch $\dfrac{2}{3}$ mit $15$ erweitern, also müssen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 15 multiplizieren. Als neuen Zähler erhalten wir $2\cdot 15=30$, der neue Nenner ist $3\cdot 15=45$. Das Ergebnis ist dann $\frac{30}{45}$.

Die Rechnung schreibt man wie folgt auf:
\[\frac 23=\frac{2\cdot 15}{3\cdot 15}=\frac{30}{45}.\]

Die Lösung dieser Aufgabe zum Thema Brüche erweitern lautet also $\dfrac{2}{3}=\dfrac{30}{45}$.