Brüche kürzen

 

Brüche kürzen

Brüche kürzen gehört zu den Basiskompetenzen im Bereich der Bruchrechnung. Durch Kürzen werden Brüche einfacher. Man kann damit schriftliche Divisionsaufgaben vereinfachen oder sich den Anteil besser vorstellen, der durch den Bruch beschrieben wird. Zum Beispiel mag es auf den ersten Blick nicht klar sein, wie viel $\frac{512}{1024}$ von 100 € sind, aber durch Kürzen ergibt sich, dass der Anteil $\frac{512}{1024}$ genau die Hälfte ist, also im Beispiel 50 €. Das Rechnen mit Brüchen, zum Beispiel Brüche addieren und Brüche multiplizieren, geht wesentlich einfacher, schneller und sicherer, wenn die beteiligten Brüche in gekürzter Form vorliegen. Will man Brüche kürzen, so werden dazu die Teilbarkeitsregeln der natürlichen Zahlen benötigt. Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl geteilt werden. Der Bruch wird vollständig gekürzt, indem durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner geteilt wird. Zum Beispiel sind 3 und 12 beide durch 3 teilbar: $3=1\cdot 3$ und $12=4\cdot 3$, deshalb lässt sich der Bruch $\dfrac{3}{12}$ mit dem Faktor $3$ kürzen:
\[\frac{3}{12}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{1\cancel{\cdot 3}}{4\cancel{\cdot 3}}=\frac{1}{4};\]
man schreibt das auch so:
\[\frac{\overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{4}{\cancel{12}}}=\frac{1}{4}.\]
Eine typische Aufgabe zum Thema Brüche kürzen lautet zum Beispiel: Kürzen Sie so weit wie möglich: $\dfrac{36}{54}=\ ?$.
Zur Lösung dieser Aufgabe werden abwechselnd zwei Schritte durchgeführt: man sucht einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, das heißt eine Zahl, durch die sowohl Zähler als auch Nenner des Bruches teilbar sind, teilt sowohl Zähler als auch Nenner dann durch diese Zahl, sucht dann vom neuen Zähler und Nenner wiederum einen Teiler, teilt wieder Zähler und Nenner durch diese Zahl, und so weiter. Man ist fertig, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler (außer 1) mehr haben. Wie das im Fall der Beispielaufgabe Schritt für Schritt funktioniert, wird im Lösungscoach ausführlich erklärt.
Dieses Verfahren kann mitunter ziemlich langwierig sein, führt aber immer sicher zum Ziel. Eine schnellere Methode zum Brüche kürzen ist das direkte Teilen von Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler.
Bei unserer Beispielaufgabe bedeutet das, dass man den Bruch $\frac{36}{54}$ auch direkt mit 18 kürzen kann, um auf $\frac 23$ zu kommen. Dazu muss man entweder sehen, dass der Zähler 36 und der Nenner 54 beides Vielfache von 18 sind, oder man kann die 18 als größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 36 und 54 berechnen. Das erfordert eine Zerlegung von 36 und 54 als Produkt möglichst kleiner Zahlen, die sogenannte Primfaktorzerlegung:
$36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$ und
$54=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3$.
Dann sieht man, dass einmal die 2 und zweimal die 3 als gemeinsame Faktoren auftreten, d. h. der größte gemeinsame Teiler ist
$2\cdot 3\cdot 3=18$.
Somit können wir $\dfrac{36}{54}$ mit 18 kürzen:
$\dfrac{\overset{2}{\cancel{36}}}{\underset{3}{\cancel{54}}}=\dfrac{2}{3}$.

 

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