Definitionsbereich einer Funktion bestimmen

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leonie am 10.09.2018

Cooli, finds gut.

Bibi_k11 am 31.08.2018

👍🏻👍🏻👍🏻

Marco am 31.08.2018

War gut und simpel erklärt. Läuft! :)

 

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Definitionsbereich einer Funktion bestimmen

Was ist der Definitionsbereich?

Der Definitionsbereich, auch Definitionsmenge einer Funktion genannt, besteht aus den Zahlen, die man für die Variable (meistens $x$) einsetzen darf.
Den Definitionsbereich einer Funktion zu bestimmen ist eine Standardaufgabe im Abitur und gehört zum Bereich der Kurvendiskussion.

Dabei gibt es drei Arten von Funktionen, die einen eingeschränkten Definitionsbereich haben. Das bedeutet, sie sind nicht auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Das sind Brüche, Wurzelfunktionen und Logarithmusfunktionen. Bei Brüchen darf bekanntermaßen der Nenner nicht null werden. Das heißt, die Funktion ist dort nicht definiert, wo ein für $x$ eingesetzter Wert dazu führen würde, dass der Nenner gleich null würde. Bei Wurzelfunktionen muss der Radikand größer oder gleich null sein. Ergäbe sich für ein $x$ ein negativer Radikand, dann wäre die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. Eine solche Stelle nennt man Definitionslücke. Bei der Lograrithmusfunktion musst du sicherstellen, dass das Argument des Logarithmus größer als null ist. Für alle $x$, die bewirken würden, dass das Argument des Logarithmus negativ oder gleich null würde, weist die Funktion an dieser Stelle eine Definitionslücke auf.

Übersicht: Funktionstypen und Definitionsbereich

Funktionstyp Beispiel Bedingung für den Definitionsbereich
Bruch $\frac{x^2}{10(x-2)}$ Nenner $\neq 0$
Wurzelfunktion $\sqrt{2x-2}$ Radikand $\geq 0$
Logarithmusfunktion $ln(1-x^2)$ Argument $ < 0$

Definitionsbereich über Ungleichung bestimmen

Die Bedingung für den Definitionsbereich ist also immer eine Ungleichung. Du führst dir also die zum Funktionstyp gehörigen Einschränkungen vor Augen, formulierst daraus eine Ungleichung und löst nach $x$ auf. Die Lösungsmenge ist jeweils die Menge aller reellen Zahlen, die die zugehörige Ungleichung erfüllen.

Funktionsterm zu einem vorgegebenen Definitionsbereich finden

Dieser Aufgabentyp, beim dem zu einem vorgegebenen Funktionsterm die Definitionsmenge bestimmt werden soll, ist der häufigere im Abitur. Manchmal wird aber auch gefordert, dass du einen Funktionsterm finden sollst, dessen maximaler Definitionsbereich eine vorgegebene Menge ist. In dem Fall kannst du dir merken: Ist die Funktion auf alle reellen Zahlen bis auf einzelne Stellen definiert, handelt es sich um einen Bruch. Ist der Wertebereich ein abgeschlossenes unendliches Intervall, dann ist die zugehörige Funktion eine Wurzelfunktion mit linearem Argument. Handelt es sich dagegen um ein offenes Intervall, dann wurde dir die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion vorgegeben.

Definitionsbereich Beispiel Funktionstyp
ganz $\mathbb{R}$ bis auf einzelne Stellen $\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$ Bruch
abgeschlossenes unendliches Intervall $[2; \infty[$ Wurzelfunktion mit linearem Argument
offenes Intervall $]-1;1[$ Logarithmusfunktion

Beispielaufgabe

Nach der ganzen Theorie jetzt eine Beispielaufgabe:

Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion $f$ mit $f(x)= {x^2}{10(x-2)}$.

Schritt 1: Einschränkungen feststellen

In unserem Fall ist der Funktionsterm ein Bruch. Dessen Nenner ($10(x-2)$) darf nicht null werden.
$10(x-2) \neq 0 \quad | : 10$
⇔ $x-2 \neq 0 \quad | +2$
⇔ $x \neq 2$.

Schritt 2: Definitionsmenge ermitteln

Die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ ist die Menge aller reellen Zahlen, die ungleich 2 sind.
Lösung

$D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$

PS: Die Definitionsmenge einer Funktion solltest du du nicht mit der Wertemenge oder auch Wertebereich einer Funktion verwechseln. Dieser bezieht sich nicht auf die $x$-Werte, sondern auf die $y$-Werte einer Funktion. Wie du den Wertebereich einer Funktion bestimmst, erfährst du im Video Wertebereich bestimmen.

 

 
 
 
 

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