Die 1. Ableitung berechnen: Ableitung der Grundfunktionen

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Kristina von TOUCHDOWN am 10.01.2019

Hallo Leale, danke für den Hinweis! Du hast natürlich völlig Recht. Wir haben den Satz korrigiert. Viele Grüße, Dein TOUCHDOWN Team

Leale am 05.01.2019

Müsste es bei dem Themenbereich 1. Ableitung - was ist das eigentlich? unter dem Video nicht eigentlich statt "Ist f′(x0)≤0, so steigt der Graph von f an dieser Stelle -->"Ist f′(x0)≤0, so FÄLLT der Graph von f an dieser Stelle." heißen?

 

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Die 1. Ableitung berechnen: Ableitung der Grundfunktionen

1. Ableitung - was ist das eigentlich?

Die 1. Ableitung berechnen ist nach Nullstellen berechnen die zweitwichtigste Technik in der Analysis. Sie wird in jeder Abiturprüfung bzw. Analysis-Klausur abgefragt und ist ein Grundbegriff der Differentialrechnung. In diesem Video lernst du, was die 1. Ableitung eigentlich ist und wie du die wichtigsten Standardfunktionen ableitest. Du erhältst eine Übersicht über die 6 wichtigsten Grundfunktionen und ihre Ableitungen. Diese solltest du auswendig lernen, denn du brauchst sie, um zusammengesetzte Funktionen abzuleiten.

Die Ableitung einer Funktion $f$ mit einer Variable (üblicherweise $x$) wird mit $f’$ oder manchmal auch mit $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ bezeichnet. Sie beschreibt den Verlauf der Steigung des Graphen von $f$. Ist $f'(x_0)\le 0$, so steigt der Graph von $f$ an dieser Stelle. Ist $f'(x_0)\ge 0$, so fällt der Graph von $f$ an dieser Stelle. Vergleiche hierzu auch das Video Monotonie untersuchen sowie die weiteren Videos im Minikurs Monotonie und Krümmung.

Die 6 wichtigsten Grundfunktionen und ihre Ableitungen

Um typische Aufgaben zu lösen, musst du zunächst einmal die Ableitungen der folgenden 6 Standardfunktionen auswendig wissen:

Funktionsterm Ableitungsterm
$c\in\mathbb{R}$ (Konstante) $0$
$x^r$ Potenz mit $r\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ $r\cdot x^{r-1}$
$sin x$ $cos x$
$cos x$ $- sin x$
$e^x$ $e^x$
$\ln x$ $\frac {1}{x}$

Ableitungsregeln

Die Ableitungsregel für Potenzen kannst du auch benutzen, um Wurzeln abzuleiten. Die Ableitungen dieser Standardfunktionen brauchst du immer wieder, also unbedingt merken. Im Lösungscoach findest du das Ganze noch einmal übersichtlich zusammengestellt.
Hinzu kommen vier allgemeine Ableitungsregeln, mit denen man komplizierte Terme ableiten kann, indem man sie auf die Standardbeispiele zurückführt.

  1. Summenregel: $f=g+h$ ⇒ $f’=g’+h’$
  2. Kettenregel: $f=g\circ h$ ⇒ $f’=(g’\circ h)\cdot h’$
  3. Produktregel: $f=g\cdot h$ ⇒ $f’=g’\cdot h+g\cdot h’$
  4. Quotientenregel: $\displaystyle f=\frac{g}{h}$ ⇒ $f’=\frac{g’\cdot h-g\cdot h‘}{h^2}$

Die einfacheren Ableitungen, die man nach Anwendung einer Ableitungsregel noch ausrechnen muss, erfordern meistens wiederum die Anwendung einer Ableitungsregel (d. h. sie sind selten so einfach, dass sie direkt aus der obigen Tabelle abgelesen werden können, wie es bei den letzten vier Beispielen der Fall war).

Beispiel-Aufgabe: Standard-Funktion ableiten

Bestimme die Ableitung der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x)=\cos x$.
Strategie: Grundfunktion erkennen und ableiten

Die vorliegende Funktion ist eine der Grundfunktionen, deren Ableitungen in allen gängen Formelsammlungen zu finden sind und die man für das Abitur im Kopf haben sollte. Der obigen Tabelle ist zu entnehmen, dass die Kosinusfunktion als Ableitung die an der $x$-Achse gespiegelte Sinusfunktion hat:
$f(x)=\cos x$ ⇒ $f'(x)=-\sin x$.
Lösung

Es gilt $f'(x)=-\sin x$.

 

 
 
 
 

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