Differentialgleichung für exponentielles Wachstum lösen

Bewerten
Kommentieren
 

Bewertung

5/5 Sterne
1 Bewertung
 

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

 
 

Weitere Videos im Kurs

 
 

Differentialgleichung für exponentielles Wachstum lösen

Die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum (auch Differentialgleichung für natürliches Wachstum genannt) ist eine der zwei Arten von Differentialgleichungen, die im Abitur auftauchen und deren allgemeine Lösung als bekannt vorausgesetzt werden. Die zweite ist die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum, deren Anwendung im entsprechenden Video erklärt wird.

Die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum ist durch eine Wachstumskonstante $k$ gegeben. Die Form der Gleichung und die allgemeine Lösung werden hier anhand einer Beispielaufgabe zum Thema Bakterienpopulation behandelt:

Das Vermehrung einer Bakterienpopulation soll in einem Zeitraum von 24 Stunden durch eine Funktion $f$ beschrieben werden. Bekannt sind folgende Daten:

  • Die Anfangspopulation besteht aus $100$ Bakterien.
  • Die Wachstumsrate ist proportional zum aktuellen Bestand, und zwar mit Proportionalitätskonstante $0{,}18$ pro Stunde.

Gib die zur vorliegenden Situation passende Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums und die zugehörige Lösungsfunktion einmal in der Form $f(t)=B\cdot e^{k\cdot t}$ und einmal in der Form $f(t)=B\cdot a^t$ an. Verwende dabei die Variable $t$ zur Einheit 1 Stunde und interpretiere $f(t)$ als Anzahl der Bakterien $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Schritt 1:Differentialgleichung für exponentielles Wachstum aufstellen

Die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum lautet:
$f'(t)=k\cdot f(t)$

In dieser Variante ergibt sich die Wachstumskonstante $k$ direkt aus der Aufgabenstellung, manchmal muss sie hingegen aus einer Wachstumsrate berechnet werden.
Das heißt, wir können die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum aufstellen, denn die Angaben in der Aufgabenstellung lassen sich direkt in eine Differentialgleichung
übersetzen:

  • Der aktuelle Populationsbestand ist gegeben durch $f(t)$.
  • Die Wachstumsrate zum Zeitpunkt $t$ ist gegeben durch die Ableitung der Bestandsfunktion, also $f'(t)$
  • Wachstumsrate = $0{,}18\,\text{h}^{-1}\cdot$ Bestand

→ $f'(t)=0{,}18\cdot f(t)$ (Die Einheiten werden gemäß Aufgabenstellung nicht in die Funktionsdefinitionen eingebunden, sondern erst in deren Interpretation)
Die Proportionalitätskonstante $k=0{,}18$ heißt Wachstumskonstante.

Schritt 2: Lösungsformel anwenden
Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung des natürlichen Wachstums lautet:
$f'(t)=k\cdot f(t)$ → $f(t)=f(0)\cdot e^{k\cdot t}$

Hier ist $k=2$ und $f(0)= 100$. Die Vermehrung der Bakterien kann also durch die Funktion
$f:[0;24] \mapsto \mathbb{R}$, $t\mapsto 100 \cdot e^{0{,}18\cdot t}$
beschrieben werden.

Damit haben wir eine Lösung der Form $f(t)=B\cdot e^{k\cdot t}$ und brauchen noch eine Lösung der Form $f(t)=B\cdot a^t$. Dazu benutzen wir die Beziehung
$f(t)=B\cdot e^{k\cdot t}=B\cdot\left(e^k\right)^t\overset{!}{=}B\cdot a^t$
→ $a=e^k=e^{0{,}18}\approx 1{,}197$

Differentialgleichung für die Modellierung der Bakterienvermehrung:
$\displaystyle f'(t)=0{,}18\cdot f(t)$
Lösungsfuktion:
$\displaystyle f(t)=100\cdot e^{0{,}18\cdot t}=100\cdot\left(e^{0{,}18}\right)^t\:\left(\approx 100\cdot 1{,}197^t\right).$

 

 
 
 
 

Jetzt einloggen


Passwort vergessen?
 

Durch die weitere Nutzung der Seite stimmen Sie der Verwendung von Cookies zu. Weitere Informationen

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close