Differentialgleichung für beschränktes Wachstum lösen

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Differentialgleichung für beschränktes Wachstum lösen

Die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum ist eine der beiden Arten von Differentialgleichungen, die im Abitur benötigt werden. Die andere ist die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum, deren Anwendung im gleichnamigen Video erklärt wird.
In diesem Video lernst du, wie du eine Differentialgleichung für beschränktes Wachstum aufstellst und die allgemeine Lösungsformel anwendest.
Die Form der Gleichung und die allgemeine Lösung werden hier anhand einer Beispielaufgabe behandelt, in der das Wachstum eines Baumes modelliert werden soll:

Das Wachstum einer Baumsorte soll durch eine Funktion $f$ beschrieben werden. Bekannt sind folgende Daten:

    Die Bäume werden höchstens 30m hoch.
    Beim Einpflanzen haben sie 0,2m Höhe.
    Die Wachstumsrate beträgt beim Einpflanzen typischerweise $1\frac {m}{Jahr}$

Gib die zur vorliegenden Situation passende Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums und die zugehörige Lösungsfunktion an. Verwende dabei die Variable $t$ zur Einheit 1 Jahr und interpretiere $f(t)$ als Höhe eines Baumes in Meter $t$ Jahre nach Einpflanzung.

Hier ist die Differentialgleichung des beschränkten Wachstums gefragt, die durch die obere Schranke $S$ (Sättigungswert) und dem Wachstumsfaktor $k$ gegeben ist:
Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums: $f'(t)=k\cdot\left(S-f(t)\right)$
Hier musst du den Wachstumsfaktor zuerst aus den Anfangsbedingungen herleiten.

Schritt 1: Differentialgleichung für beschränktes Wachstum aufstellen
Die obere Schranke für das Wachstum liegt laut der ersten Vorgabe bei $30\,\mathrm{m}$, d. h. es ist in diesem Modell $S=30$. Außerdem ist die Anfangshöhe $0{,}2\,\mathrm{m}$, also gilt für die gesuchte Lösungsfunktion $f(0)=0{,}2$. Schließlich ist die anfängliche Wachstumsrate als $1\,\frac{\mathrm{m}}{Jahr}$ angegeben, also ist $f'(0)=1$.

Durch Einsetzten von $t$ in die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum erhalten wir die Gleichung
$f'(0)=k\cdot\left(S-f(0)\right)$ → k=\frac{f'(0)}{S-f(0)}.
Die Angaben $S=30$, $f(0)=0{,}2$ und $f'(0)=1$ aus der Aufgabenstellung liefern damit
$k=\frac{1}{30-0{,}2}=\frac 5{149}$.

Mit diesem Wert von $k$ und dem vorgegebenen Sättigungswert $S=30$ ergibt sich aus der grünen Formel die für diese Aufgabe gefragte Differentialgleichung für beschränktes Wachstum für die Modellierung des Baumwachstums:
$f'(t)=\frac 5{149}\cdot\left(30-f(t)\right)$.

Schritt 2: Lösungsformel anwenden
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des beschränkten Wachstums lautet:
$f'(t)=k\cdot\left(S-f(t)\right)$ → $f(t)=S-\left(S-f(0)\right)\cdot e^{-k\cdot t}$

Hier ist $S=30$, $f(0)=0{,}2$ und $k=\frac 5{149}$

Also lautet die Lösung für die Modellierung des Baumwachstums
$\displaystyle f(t)=30-29{,}8\cdot e^{-\frac 5{149}\cdot t}.$

 

 
 
 
 

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