Dreimal-mindestens-Aufgabe lösen

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Dreimal-mindestens-Aufgabe lösen

Die sogenannte Dreimal-mindestens-Aufgabe ist ein Klassiker im Abitur und sofort erkennbar am wiederholten Auftreten des Wörtchens „mindestens“. In manchen Varianten wird es auch durch „mehr als“ ersetzt. Typischerweise tritt die „Dreimal-mindestens-Aufgabe“ im Zusammenhang mit Ausschussware in einer laufenden Produktion oder Wählerumfragen auf. (s. hierzu auch das Video zur Bernoulli-Formel). Die Strategie ist immer dieselbe: Du bestimmst zunächst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses in Abhängigkeit von der Anzahl der Einzelexperimente $n$, stellst dann eine Ungleichung auf und löst sie nach $n$ auf.
Im Video erfährst du in 3 Minuten, wie das praktisch funktioniert.

Aufgabe

Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine 6 zu bekommen?

Schritt 1: Ungleichung aufstellen mit der Gegenwahrscheinlichkeit

Wir gehen natürlich von einem fairen Würfel aus, bei dem man mit Wahrscheinlichkeit $p=\frac 16$ eine 6 würfelt. Außerdem wird vorausgesetzt, dass die Würfe stochastisch unabhängig sind. Dann können wir die Situation in einem Baumdiagramm skizzieren („+“ bedeutet, es wird eine 6 gewürfelt, „$-$“ bedeutet, dass keine 6 gewürfelt wird)

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 gewürfelt wird, setzt sich aus allen Pfaden dieses Baumdiagramms zusammen, in denen irgendwo ein „+“ vorkommt. Das sind alle bis auf den einen roten Pfad. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also genau das Gegenereignis zum roten Pfad. Nach der Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit ist also

$P(mindestens\, eine \, 6) = 1-P(keine\, 6) = 1 -P (roter\, Pfad)$

Die Wahrscheinlichkeit des roten Pfades berechnest du mit der Pfadmultiplikationsregel. Wenn $n$-mal gewürfelt wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu bekommen gleich:
$P(roter\, Pfad)=\dfrac56\cdot\dfrac56\cdot…\cdot\dfrac56=\left(\frac 56\right)^n$.

Wenn wir das in die Gleichung für das Gegenereignis einsetzen, dann ergibt sich
$P(mindestens\, eine \, 6) = 1-P(keine\, 6)= 1 – \left( \frac56\right )^n$

Die Aufgabenstellung gibt ja vor, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens (Stichwort Dreimal-mindestens-Aufgabe) 90% betragen. Das heißt, es soll
$1 – \left( \frac56\right )^n \leq 0,9$
gelten. Die Frage ist nun, wie große $n$ mindestens sein muss, damit die Ungleichung erfüllt ist.

Schritt 2: Ungleichung lösen

Jetzt lösen wir die Ungleichung aus Schritt 1 nach $n$ auf.

$1-\left(\frac56\right)^n\geq 0{,}9 \quad|\,-1$
⇔ $-\left(\frac56\right)^n \geq 0{,}1$

Achtung: Durch die jetzt erforderliche Multiplikation mit $−1$ dreht sich das Ungleichheitszeichen um, weil $−1$ negativ ist!

$-\left(\frac56\right)^n\geq-0{,}1 \quad|\,\cdot(-1)$
⇔ $\left(\frac56\right)^n\leq 0{,}1$

Im nächsten Schritt logarithmieren wir, um das $n$ im Exponenten zu bestimmen:
$\left(\frac56\right)^n\leq 0{,}1 \quad|$\,logarithmieren
⇔$\ln\left(\left(\frac56\right)^n\right)\leq\ln(0{,}1) \quad|$ Logarithmusgesetze anwenden
⇔$ n\cdot\ln\left(\frac56\right)\leq\ln(0{,}1)$

Im nächsten Schritt teilen wir noch durch $\ln\left(\frac56\right)$ teilen. Aber Vorsicht: $\ln\left(\frac56\right)$ ist negativ, weil $\frac56<1$ ist, also dreht sich das Ungleichheitszeichen wieder um: $n\cdot\ln\left(\frac56\right)\leq\ln(0{,}1) \quad\left|\,:\ln\left(\frac56\right)\right.$ ⇔$ n\geq\frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left(\frac56\right)}$ Das ist laut Taschenrechner $\approx 12{,}6$. Also muss mindestens 13-mal gewürfelt werden.

Lösung der Dreimal-mindestens-Aufgabe

Um mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln, muss man mindestens 13-mal würfeln

 

 
 
 
 

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