Ebenengleichung in Parameterform aufstellen aus Punkt und Richtungsvektoren

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Ebenengleichung in Parameterform aufstellen aus Punkt und Richtungsvektoren

Eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen ist eine Standardaufgabe im Abitur. Hier lernst du, wie du eine Ebenengleichung in Parameterform im einfachsten Fall aufstellst, nämlich dann, wenn ein Punkt und zwei Richtungsvektoren vorgegeben sind. Wenn du nur 3 Punkte gegeben hast, musst du zunächst die Richtungsvektoren berechnen. Wie das geht, erfährst du im Video Parameterform aus 3 Punkten. Ebenengleichungen in Parameterform bestehen aus drei Bausteinen, nämlich dem Ortsvektor eines Punktes $P$ auf der Ebene und zwei Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$, aus denen die Orientierung der Ebene im Raum hervorgeht. Die allgemeine Form sieht so aus:
Parametergleichung einer Ebene $E$:
$E:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{OP}+\lambda\cdot\vec{v}+\mu\cdot\vec{w},\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R}$%.

Schauen wir uns zum Aufgabentyp Ebenengleichung in Parameterform aufstellen, wenn ein Punkt und zwei Richtungsvektoren gegeben sind, eine Beispielaufgabe an:
Die Vektoren $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\1\end{array}\right)$ und $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\1\end{array}\right)$ spannen eine Ursprungsebene $E’$ auf. Gib eine Gleichung der Ebene $E$ an, die zu $E’$ parallel ist und den Punkt $P(1|1|1)$ enthält.

Die Strategie zur Lösung der Aufgabe lautet: Punkt und Richtungsvektoren in Parameterform einsetzen
In unserem Fall können wir den vorgegebenen Punkt $P(1|1|1)$ als Aufpunkt nehmen, d. h. der erste Baustein für die Parametergleichung ist der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1\end{array}\right)$:

Jetzt brauchen wir noch zwei Richtungsvektoren. Diese dürfen außerdem nicht parallel und nicht null sein, sonst beschreibt die zugehörige Gleichung keine Ebene, sondern eine Gerade oder im Extremfall (wenn nur Nullvektoren als Richtungen angegeben werden) nur einen einzigen Punkt.
Da $E$ und $E’$ parallel sind, ist jeder Richtungsvektor (auch Spannvektor genannt) der einen Ebene auch Richtungsvektor der anderen. Daher können wir die vorgegebenen Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ auch als Richtungsvektoren für $E$ wählen. Einsetzen dieser Vektoren in die allgemeine Parametergleichung liefert
\[E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\1\end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\1\end{array}\right),\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R}.\]

Die Lage der Ebene im Koordinatensystem kannst du dir im zum Video passenden interaktiven 3D-Lösungscoach ansehen.

 

 
 
 
 

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