Eigenvektoren einer 3×3-Matrix berechnen

Mit Hilfe von Eigenvektoren lassen sich lineare Abbildungen oft besser verstehen und einfacher beschreiben, aber nicht jede Matrix besitzt Eigenvektoren.
Hier lernst du, wie du zu einer vorgegebenen 3×3-Matrix einen Vektor findet, dessen Richtung unverändert bleibt, wenn man ihn von links mit der Matrix multipliziert. Ein solcher Vektor heißt Eigenvektor. Häufig werden Eigenvektoren im Zusammenhang mit stationären Verteilungen abgefragt.

Hintergrundwissen

Eine 3×3-Matrix $M$ definiert eine Abbildung
$\alpha_M:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$,$\overrightarrow{v} \mapsto M \cdot \overrightarrow{v}$.

Deren Wirkung ist auf beliebige Vektoren $\overrightarrow{v} \in\mathbb{R}^3$ im Allgemeinen schwer zu beschreiben. Auf einige Vektoren $\overrightarrow{v}$ wirkt aber die Multiplikation mit der Matrix $M$ genau wie die Multiplikation mit einer Zahl $\lambda$. Das heißt, die Abbildung bewirkt schlichtweg eine Streckung bzw. Stauchung des Vektors. Ein solcher Vektor heißt Eigenvektor von $M$, sofern es sich nicht um den Nullvektor handelt. In diesem Fall wäre die Abbildung $\alpha_M$ trivial. Der zugehörige Streckungsfaktor heißt dann Eigenwert von $M$ (dieser kann auch null sein). Ist also $\overrightarrow{v}$ ein Eigenvektor zu $M$, zum Eigenwert $\lambda \in \mathbb{R}$, dann gilt
$M\cdot\vec{v}=\lambda\cdot \overrightarrow{v}$. (Matrix-Vektor-Gleichung)

Die Bestimmung der Eigenvektoren zu einem Eigenwert $\lambda$ funktioniert über ein lineares Gleichungssystem, dass sich aus obiger Matrix-Vektor-Gleichung ergibt.

Beispielaufgabe zum Thema Eigenvektoren berechnen

Bestimme alle Eigenvektoren der Matrix
$M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 3 & -1\end{pmatrix}$
zum Eigenwert $\lambda=1$.

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Ist $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\c\end{array}\right)$ ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $\lambda$, dann lautet die zugehörige Matrix-Vektor-Gleichung
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 3 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

Das entspricht dem folgenden linearen Gleichungssystem:
$
1a + 2b + 0c = a\\
0a + 1b + 1c =b\\
0a + 3b -1c = c
$.
Oder einfacher:
$I: 2b = 0\\
II: c = 0\\
III: 3b – 2c = 0$

Aus I folgt $b=0$ und II liefert $c=0$. Alle drei Gleichungen sind von $a$ unabhängig und mit $b=c=0$ sind stets alle drei Gleichungen erfüllt. Somit sind alle Vektoren der Form $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}a\\ 0 \\0\end{array}\right)$ mit $a\neq 0$ Eigenvektoren vom $M$ zum Eigenwert $1$. (Der Nullvektor ist per Definition nie ein Eigenvektor.)

Lösung

Die Eigenvektoren von $M$ zum Eigenwert $1$ bilden die Menge $\left\{\left(\begin{array}{c}a\\0\\0\end{array}\right) | a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \right\}$.