Analysis - Steckbriefaufgaben - Einem Funktionsterm den zugehörigen Graph zuordnen

Einem Funktionsterm den zugehörigen Graph zuordnen

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Einem Funktionsterm den zugehörigen Graph zuordnen

Zusammenhang Graph und Funktionsterm

Wie du einem Funktionsterm den zugehörigen Funktionsgraphen zuordnest, erfährst du in diesem Video. Hierzu benötigst du dein Wissen über Spiegelung, Verschiebung und Streckung.

Um solche Zuordnungsaufgaben zu lösen, solltest die wichtigsten Funktionstypen und die dazugehörigen Formen der Graphen kennen; zum Beispiel lineare Funktion – Gerade, quadratische Funktion – Parabel, trigonometrische Funktion – wellenförmiger Graph (zum Beispiel die Sinuskurve). Diese drei Grundformen musst du immer parat haben, um einem Funktionsterm seinem Funktionsgraph zuzuordnen.

Übersicht über Funktionstypen und und Form des Graphen
Funktionstyp Form des Graphen
Beispiel:
linear, z.B. $x \mapsto \frac 34 x-1$
Gerade
quadratisch, z.B. $x \mapsto x^2$ Parabel
trigonometrisch, z. B.
$f x \mapsto sin(x)$
Welle

Liegt bei mehreren Graphen der gleiche Funktionstyp vor, dann unterscheiden sie sich durch Spiegelung (an der $x$-Achse oder der $y$-Achse), Streckung bzw. Stauchung oder Verschiebung (in $x$-Richtung oder in $y$-Richtung), was du jeweils am Funktionsterm erkennen kannst.

Oft gibt es mehrere Möglichkeiten zu begründen, welcher Term zu welchem Graph passt. Zum Beispiel kann man auch das Symmetrieverhalten untersuchen (Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie), um sich die Zuordnung von Term und Graph zu erleichtern.

Aufgabe

Gegeben sind die folgenden vier Funktionen mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$:

$f_1:x\mapsto (x-1)^2+1$
$f_2:x\mapsto (x+1)^2+1$
$f_3:x\mapsto (x+1)^3+1$
$f_4:x\mapsto 2x^2+1$

Ihre Graphen werden mit $G_{f_1}$, $G_{f_2}$, $G_{f_3}$ und $G_{f_4}$ bezeichnet. Sie sind im Folgenden abgebildet:

Schreibe unter jedes Bild, um welchen der vier Graphen es sich handelt.

Schritt 1: Funktionstypen feststellen

Am einfachsten zu erkennen ist der Funktionstyp der vier vorgegebenen Funktionen:

$f_1(x)=(x-1)^2+1$ ⇒ $f_1$ ist eine quadratische Funktion ⇒ $G_{f_1}$ ist eine Parabel.
$f_2(x)=(x+1)^2+1$ ⇒ $f_2$ ist eine quadratische Funktion ⇒ $ G_{f_2}$ ist eine Parabel.
$f_3(x)=(x+1)^3+1$ ⇒ $f_3$ ist weder quadratisch, noch linear oder trigonometrisch ⇒ $G_{f_3}$ ist keine Parabel, Gerade oder Welle.
$f_4(x)=2x^2+1$ ⇒ $f_4$ ist eine quadratische Funktion ⇒ $ G_{f_4}$ ist eine Parabel.

Damit haben wir eine Funktion eindeutig identifiziert: $f_3$ beschreibt als einzige der vier Funktionen keine Parabel. Ein Blick auf die Abbildungen zeigt, dass das nur der erste grüne Graph $G_{f_3}$ sein kann.

Schritt 2: Spiegelung, Streckung oder Verschiebung erkennen

Es verbleiben die drei Funktionsterme $f_1$, $f_3$ und $f_4$, alle quadratisch. Die Terme $f_1$ und $f_2$ unterscheiden sich nur durch das Rechenzeichen nach der Variable $x$. Beide gehen durch Verschiebung aus der Normalparabel mit Funktionsterm $x^2$ hervor. Durch eine Verschiebung um eine Einheit nach oben wird der Term zu $x^2+1$. Der Term $f_1=(x-1)^2+1$ entsteht, indem die Variable $x$ durch $(x-1)$ ersetzt wird. Analog entsteht $f_2=(x+1)^2+1$ aus $x^2+1$ durch Einsetzen von $(x+1)$ anstelle von $x$. Graphisch entspricht das einer Verschiebung um eine Einheit in $x$-Richtung.

Eine Verschiebung um eine Einheit nach links entspricht der Ersetzung $x\mapsto(x+1)$ im Funktionsterm.
Falls es dir natürlicher erscheint, das „$+1$“ im Funktionsterm mit einer Rechtsverschiebung in Verbindung zu setzen, dann merke dir: Das „$+1$“ verschiebt das Koordinatensystem um eine Einheit nach rechts, d. h. der Graph erscheint nach links verschoben.
Also also gehört der blaue Graph zum Funktionsterm $f_2(x)=(x+1)^2+1$. Die Ersetzung $x\mapsto(x-1)$ entspricht einer Verschiebung nach rechts, also gehört der Term $f_1=(x-1)^2+1$ zum roten Graphen.

Damit sind $G_{f_1}$, $G_{f_2}$ und $G_{f_3}$ erkannt und es bleibt nur noch der lilafarbene Graph für die Funktion $f_4$.

Lösung

 

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