Entscheidungsregel beim Alternativtest mit stochastischen Tabellen

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Kristina Stinner am 14.12.2018

Hallo R.Scholz, danke für den Hinweis, Eine Korrektur des Videos ist in Bearbeitung. Die anfängliche Ausschussquote sollte 1% sein. Die Rechnung bleibt dann unverändert.

R. Scholz am 13.12.2018

Wo geht die Ausschussquote von 0,1% = 0,001 im weiteren Verlauf der Rechnung ein? Woher komm der Wert 0,01 = 1% bei der Nullhypothese?

groot am 31.08.2018

Ich hasse Stochastik :(

 

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Entscheidungsregel beim Alternativtest mit stochastischen Tabellen

Aufgaben zur Bestimmung von Entscheidungsregeln sowohl die längsten als auch die am häufigsten vorkommenden Aufgaben zum Thema Hypothesentests im Abitur. Im Video erfährst du, wie du in drei Schritten die Entscheidungsregel beim Alternativtest mit vorgegebenem Signifikanzniveau mit Hilfe stochastischer Tabellen bestimmst.

Aufgabe zur Bestimmung der Entscheidungsregel

Eine Fabrik produziert LED-Lampen mit einer Ausschussquote von $1\,\%$. Um den Ausschuss\-anteil zu reduzieren, werden Veränderungen im Herstellungsverfahren vorgenommen. Die Fabrikleitung möchte mit einer Stichprobe von 400 Lampen überprüfen, ob die Ausschussquote $p$ tatsächlich gesenkt worden ist.

Bestimme mit Hilfe stochastischer Tabellen die Entscheidungsregel für einen passenden Hypothesentest mit Nullhypothese $H_0: p\geq 0{,}01$ auf einem Signifikanzniveau von $10\,\%$.

Hintergrundwissen

Die höchsten Anforderungen im Mathe-Abitur werden beim Thema Hypothesentests gestellt. Dabei treten typischerweise drei Arten von Aufgaben auf:

  • Entscheidungsregel bestimmen
  • Fehlerwahrscheinlichkeiten berechnen für:
    Fehler 1. Art
    Fehler 2. Art
  • Wahl der Nullhypothese begründen

Die hier vorliegende Art ist die erste und und längste von den dreien, die auch am häufigsten vorkommt. So gehst du dabei vor:

Schritt 1: Lage von Annahmebereich und Ablehnungsbereich festlegen

Beim Test der 400 LED-Lampen wird gezählt, wie viele davon zum Ausschuss gehören. Sei $X$ die Anzahl der defekten Lampen unter den 400 in der Stichprobe. Je nachdem, wie groß $X$ ausfällt, wird die Nullhypothese $p\geq 0{,}01$ entweder angenommen oder abgelehnt. Die Nullhypothese lautet in Worten: „Der Ausschussanteil in der LED-Produktion liegt bei mindestens $1\,\%$“. Sie wird also angenommen, wenn $X$ groß ausfällt (und abgelehnt, wenn nur wenige Lampen defekt sind). $X$ kann prinzipiell alle Werte von 0 bis 400 annehmen (es sind mindestens 0 und höchstens 400 von den 400 LED-Lampen defekt). Der Bereich $\{0;\dots;400\}$ gliedert sich also wie folgt auf:

$\{0;\dots;k\}$ $\{k+1;\dots;400\}$
$X$ ist klein $X$ ist groß
wenig defekte Lampen viele defekte Lampen
$H_0$ ist unwahrscheinlich $H_0$ ist plausibel
Ablehnungsbereich Annahmebereich

Dabei ist $k$ ein Grenzparameter, den wir noch bestimmen müssen.

Zusatzinfo
Hier ist die Nullhypothese von der Form $p\geq p_0$ für den Schwellenwert $p_0=0{,}01$, d.~h. $H_0$ besagt grob gesprochen, dass $p$ groß ist. Deswegen enthält der Annahmebereich die großen Werte $\{k+1;\dots;400\}$ und der Ablehnungsbereich die kleinen Werte $\{0;\dots;k\}$. Manchmal lautet aber die Nullhypothese $p\leq p_0$ für irgendein $p_0\in[0;1]$. In dem Fall sagt $H_0$, dass $p$ klein ist, d. h. der Annahmebereich sind dann die kleinen Werte und der Ablehnungsbereich die großen Werte.

Schritt 2: Ungleichung für das Signifikanzniveau aufstellen

Als nächstes müssen wir berechnen, wie groß der Ablehnungsbereich höchstens sein darf, damit das Signifikanzniveau von $10\,\%$ nicht überschritten wird. Das Signifikanzniveau ist die maximale zulässige Wahrscheinlichkeit einer irrtümlichen Ablehnung der Nullhypothese, das heißt, eines Fehlers 1. Art. Das heißt, wir müssen das größtmögliche $k$ bestimmen, so dass $X$ höchstens mit Wahrscheinlichkeit $10\,\%$ im Ablehnungsbereich $\{0;\dots;k\}$ aus Schritt 1 landet. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt ausdrücken:

$P(„X\, landet \, im \, Ablehnungsbereich“)= P(X\in\{0;\dots;k\})=P(X\leq k)$.

Das Signifikanzniveau von $10\,\%=0{,}1$ stellt also die Bedingung $P(X\leq k)\leq 0{,}1$.

In Worten ausgedrückt heißt das:
„Die Anzahl der fehlerhaften LED-Lampen in der Stichprobe (also $X$) ist höchstens mit Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ kleiner oder gleich dem Grenzparameter $k$“ (den wir im nächsten Schritt bestimmen).

Zusatzinfo
Ziel dieses Schrittes ist es, eine Ungleichung für $P(X\leq k)$ aufzustellen. Wenn die Nullhypothese aber nicht $p\geq p_0$ (wie im vorliegenden Fall), sondern $p\leq p_0$ lautet, dann sind Annahme- und Ablehnungsbereich vertauscht, d. h. man bekommt zunächst die Ungleichung $P(X>k)\leq 0{,}1$ statt $P(X\leq k)\leq 0{,}1$. Um daraus eine Ungleichung für $P(X\leq k)$ zu bekommen, musst du die Gegenwahrscheinlichkeit einsetzen:

$P(X>k)\leq 0{,}1$ ⇔ $1-P(X\leq k)\leq 0{,}1$ ⇔ $P(X\leq k)\geq 0{,}9$.
In diesem Fall ist also nicht das größte, sondern das kleinste $k\in\mathbb{N}$ gesucht, dass die Ungleichung $P(X\leq k)\geq 0{,}9$ erfüllt.

Schritt 3: Grenzparameter mit einer Binomialtabelle bestimmen

Wir suchen jetzt das größte $k$, mit dem die Ungleichung $P(X\leq k)\leq 0{,}1$ aus Schritt 2 noch erfüllt ist. Die Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq k)$ für unterschiedliche $k$ sind in stochastischen Tabellen aufgelistet. Die richtige Tabelle ist hier die kumulierte Binomialverteilung mit Parameter $n=400$ (Größe der Stichprobe). Typischerweise werden in den Spalten der zugehörigen Tabelle die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche $p$ aufgeführt. Wir brauchen die Spalte mit $p=0{,}01$

$p=0{,}01$ ist die Grenzwahrscheinlichkeit, die von der Nullhypothese $p\geq 0{,}01$ festgelegt wird. Wenn die Ungleichung $P(X\leq k)\leq 0{,}1$ aus Schritt 2 für $p=0{,}01$ erfüllt ist, dann erst recht für alle $p>0{,}01$, denn wenn $p$ größer ist, dann nimmt $X$ tendenziell größere Werte an, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ klein ausfällt (d. h. $X\leq k$) noch geringer wird. Somit ist gewährleistet, dass die Ablehnungswahrscheinlichkeit von $H_0$ für jedes $p\geq 0{,}01$ unterhalb vom Signifikanzniveau bleibt.

Wir suchen das größte $k$, bei dem die tabellierte Wahrscheinlichkeit unterhalb von $0{,}1$ (Signifikanzniveau) liegt. In der Zeile für $k=1$ ist der Wert $0{,}0905\leq 0{,}1$ tabelliert, für $k=2$ der Wert $0{,}2366>0{,}1$. Somit ist $k=1$ der größtmögliche Wert von $k$, für den die Ungleichung aus Schritt 2 erfüllt ist.

Der Annahmebereich aus Schritt 1 war von der Form $\{k+1;\dots;400\}$ und wir wissen jetzt, dass wir $k=1$ wählen müssen, um das Signifikanzniveau gerade noch einzuhalten. Der Annahmebereich ist also $\{2;\dots;400\}$ und der Ablehnungsbereich dementsprechend $\{0;1\}$.

Daraus ergibt sich die Entscheidungsregel, die du jetzt noch im Sachzusammenhang formulieren musst.

innermathematische Formulierung der Entscheidungsregel:
Die Nullhypothese $H_0:p\geq 0{,}01$ wird angenommen, wenn $X\geq 2$ ausfällt, d.~h. wenn mindestens 2 der 400 getesteten LED-Lampen defekt sind.

Formulierung der Entscheidungsregel im Sachzusammenhang:
Wenn mindestens 2 der 400 getesteten LED-Lampen defekt sind, wird davon ausgegangen, dass die Ausschussquote nicht gesenkt wurde.

Lösung

Die Annahme, dass die Ausschussquote durch die verfahrenstechnischen Maßnahmen gesenkt wurde, wird als bestätigt angesehen, wenn höchstens eine der 400 LED-Lampen aus der Stichprobe fehlerhaft ist. Ansonsten wird die Annahme verworfen.

 

 
 
 
 

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