Erwartungswert einer Zufallsgröße berechnen

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße $X$ ist ein wichtiger Begriff in der Stochastik. Mit ihm beschreibt man die Zahl, die eine Zufallsgröße bei mehrfacher Durchführung eines Experiments im Mittel annimmt. In diesem Videos lernst du, wie du den Erwartungswert von Zufallsvariablen mit endlichem Wertebereich berechnest. Neben der allgemeinen Formel wird auch der wichtige Spezialfall einer binomialverteilten Zufallsvariable behandelt.

Aufgabe

Bei einem Gewinnspiel gibt es Geldpreise in Höhe von €1000, €500 und €200. Die entsprechenden Gewinnwahrscheinlichkeiten sind wie folgt:

Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn?

Lösungsansatz

Sei $X$ die Zufallsgröße, die den Zahlenwert des Gewinns (in Euro) angibt. Dann hat $X$ die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Der durchschnittliche Gewinn in Euro ist der Erwartungswert von $X$. Die Formel für den Erwartungswert einer Zufallsvariable, die endlich viele Werte $k_1$,. . . , $k_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_1$,. . . , $p_n$ annimmt, lautet:

$\displaystyle E(X)=\sum\limits_{i=1}^nk_iP(X=k_i)=\sum\limits_{i=1}^nk_ip_i=k_1p_1+\dots+k_np_n$.

Formel für den Erwartungswert anwenden

Die Zufallsgröße $X$ kann nur drei Werte (abgesehen von null) annehmen, also ist der Erwartungswert die Summe aus den drei Werten, jeweils mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert:

$E(X)=200\cdot 0{,}1+500\cdot 0{,}05+1000\cdot 0{,}01\\
=20+25+10\\
=55$.

Lösung

Der durchschnittliche Gewinn beträgt €55.

Bemerkung:
Falls $Y$ binomialverteilt ist mit Parametern $n$ und $p$, so nimmt $Y$ jeden Wert $k\in\{0,\dots,n\}$ mit Wahrscheinlichkeit $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ an. Die Anwendung der allgemeinen Formel für den Erwartungswert erfordert in diesem Fall die Berechnung von
$\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Das Ergebnis solltest du dir auswendig merken, denn es wird oft gebraucht:

Erwartungswert einer Bernoulli-Kette $Y$ mit Parametern $n$ und $p$:

$E(Y)=n\cdot p$.