Exponentialfunktion: Parameterbestimmung

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Exponentialfunktion: Parameterbestimmung

Parameter der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, wird in nahezu jeder Abiturprüfung abgefragt. Hier lernst du, aus den Eigenschaften einer Exponentialfunktion ihren Funktionsterm zu bestimmen.

Die Exponentialfunktion hat die allgmeine Funktionsgleichung $a^{ax^2+x}+b$. Typischerweise sind bei Exponentialfunktionen zwei Arten von Parametern zu bestimmen:

  • Parametern innerhalb des Exponenten
  • Parametern außerhalb der Potenz

Bei der Exponentialfunktion wird die Parameterbestimmung also dadurch erschwert, dass oft ein Parameter im Exponenten auftaucht (hier $a$) und ein anderer außerhalb (hier $b$) der Potenz.

Das heißt: Anders als bei der Bestimmung der Parameter für die ganzrationale Funktion kann hier nicht mit einem linearen Gleichungssystem gearbeitet werden. Stattdessen musst du zunächst einen der Parameter direkt bestimmen und den zweiten daraus herleiten. Ist bei einer e-Funktion die Steigung an einer Stelle oder ein Extrempunkt angegeben, dann empfiehlt es sich, zunächst den Parameter im Exponenten zu bestimmen. Ist stattdessen ein Grenzwert angegeben, wird zuerst der Parameter außerhalb der Potenz bestimmt. Nach der Ermittlung des ersten Parameters wird der zweite durch Einsetzen, Umformen und Vereinfachen bestimmt.

Häufige Aufgaben und Lösungsstrategien

Die folgende Tabelle gibt dir eine Übersicht über die wichtigsten Methoden, Gleichungen für die Parameter aus den Angaben der Aufgabenstellung zu gewinnen:

Angabe zugehörige Gleichung
Punkt $P (p_1 | p_2)$ auf dem Graphen $f(p_1)= p_2$
Steigung $s$ bei $x = x_0$ $f'(x_0)=s$
Extrempunkt* bei $x=x_0$ $f'(x_0)=0$
Wendepunkt bei $x = x_0$ $f“(x_0)=0$

* an dieser Stelle kann genausogut „Maximum“, „Minimum“, „Extremalstelle“ oder „waagrechte Tangente“ stehen: In all diesen Fällen ist die erste Ableitung null.

Aufgabenbeispiel

Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion $f$ mit Funktionsterm der Form $f(x)=e^{ax^2+x}+b\quad (a\text{ und }b\text{ aus }\mathbb{R})$
Das Minimum der Funktion liegt im Punkt $\left(-0{,}5\left|e^{-\frac 14}\right.\right)$.

Bestimme die Parameter $a$ und $b$.

Schritt 1: Ersten Parameter bestimmen

Da bei unserer Aufgabe das Minimum, also ein Extrempunkt vorgegeben ist, beginnen wir mit der Bestimmung von $a$, also dem Parameter im Exponenten. Die einzige Vorgabe ist, dass die e-Funktion ein Minimum im Punkt $\left(-0{,}5\left|e^{-\frac 14}\right.\right)$.
Die Angabe des Tiefpunkts liefert uns zwei Gleichungen:
Einerseits ist $\left(-0{,}5\left|e^{-\frac 14}\right.\right)$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$, also ist $f(-0{,}5)= e^{-\frac14}$, andererseits handelt es sich um den Tiefpunkt mit $x$-Koordinate $-0{,}5$, das heißt $f'(-0{,}5)= 0$.
Um den Parameter $a$ dieser Exponentialfunktion zu bestimmen, ziehen wir ihn zunächst aus dem Exponenten heraus, indem wir die 1. Ableitung bilden.

$f(x)=e^{ax^2+x}+b \Rightarrow f'(x)=(2ax+1)e^{ax^2+x}$

Somit können wir $f'(-0{,}5)= 0$ wie folgt umschreiben:
$2a(-0{,}5)+1)e^{ax^2+(-0{,}5)}=0\Leftrightarrow (-a+1)\underbrace{e^{ax^2-0{,}5}}_{>0}=0$.

Da der Exponentialterm immer positiv ist, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wenn
$(-a+1)=0$, also $a=1$ ist.

Schritt 2: Zweiten Parameter bestimmen

Nach Schritt 1 ist $a=1$, also lautet der Funktionsterm $f(x)=e^{x^2+x}+b$. Damit bleibt nur noch $b$ zu bestimmen. Die einzige Vorgabe aus der Aufgabenstellung, die wir noch nicht benutzt haben, ist der Punkt $\displaystyle\left(-0{,}5\left|e^{-\frac 14}\right.\right)$ auf dem Graphen von $f$. Das liefert die Gleichung $f(-0{,}5)=e^{-\frac 14}$.

$f(x)=e^{x^2+x}+b$ lässt sich damit folgendermaßen umformen:

$e^{(-0{,}5)^2+(-0{,}5)}+b=e^{-\frac 14}\quad |\;\text{vereinfachen}\\
\Leftrightarrow\ e^{-\frac 14}+b=e^{-\frac 14}\quad |\;-e^{-\frac 14}\\
\Leftrightarrow b=0$

Lösung

Die Parameter der Funktion $f$ lauten: $a=1$ und $b=0$.
Damit sieht dann der fertige Funktiosnterm so aus:
$f(x)=e^{x^2+x}$

 

 
 
 
 

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