Lokale Minima
Ein lokales Minimum liegt vor, wenn der Wert einer Funktion an einer Stelle kleiner ist als alle anderen Werte in einer kleinen Umgebung dieser Stelle, auch auch wenn die Werte anderswo noch kleiner werden.
Typischerweise ist die Funktion links von der Minimalstelle monoton fallend und rechts davon monoton wachsend. Typisch für ein lokales Minimum ist, dass die Funktion an dieser Stelle eine waagerechte Tangente hat und dort linksgekrümmt ist.

Lokale Maxima
Ein lokales Maximum liegt vor, wenn der Wert einer Funktion an einer Stelle größer ist als alle anderen Werte in einer kleinen Umgebung dieser Stelle.
Bei Maximalstellen ist der Graph typischerweise rechtsgekrümmt.

Extrempunkte berechnen muss man in praktisch jeder Abiturprüfung. Aufgaben, in denen Hochpunkte, Tiefpunkte oder auch nur die zugehörigen Extremstellen gesucht sind, kann man auf zwei verschiedene Arten lösen:

• mithilfe ener Monotonie-Untersuchung
• mithilfe der 2. Ableitung (s. hierzu das Video Extrema über zweite Ableitung)

Bestimme alle lokalen Extrema der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\ln(x^2+1)$.

Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, zunächst das Monotonieverhalten zu untersuchen, um dann Schlussfolgerungen über die Extrempunkte der Funktion zu ziehen
Dazu leitest du den Funktionsterm zunächst ab.
$f(x)=\ln(x^2+1)\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}$

Im Anschluss daran berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung.

$f'(x)=0$
$\Rightarrow \frac{2x}{x^2+1}=0 \\
\Rightarrow 2x=0 \\
\Rightarrow x=0$

Wegen $f'(0)=\frac01=0$ ist also $x=0$ die einzige Nullstelle von $f’$. Nun machst du dir eine Vorzeichentabelle, in der du notierst, welches Vorzeichen die Ableitungsfunktion links bzw. rechts von der Nullstelle bei $x=0$ hat:

Die Untersuchung des Monotonieverhaltens der Funktion zeigt also, dass die Funktion $f$ an der Stelle $x=0$ ein lokales Minimum, also einen Tiefpunkt) hat.

Im zweiten Schritt können wir dann die Extrempunkte berechnen. Einsetzen des $x$-Wertes in unsere Funktionsgleichung liefert $y=0$. Damit ist der einzige Extrempunkt dieser Funktion bestimmt.

Die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\ln(x^2+1)$ hat einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $(0|0)$.

Tipp:
Bei dieser Aufgabe haben wir uns auf die Bestimmung lokaler Extrempunkte beschränkt. Wie du globale Extrema bestimmst, erfährst du im Video globale Extrema bestimmen.

Bemerkung:
Wenn der Definitionsbereich einer Funktion nicht offen ist, können sogenannte Randmaxima auftreten. Nehmen wir z. B. die obige Funktion $f$ nur auf dem Intervall $[-\infty;2]$, so ist $(2|f(2))=\left(2|\ln(5)\right)$ ein lokales Maximum, also, ein lokaler Hochpunkt, den man über das Monotonieverhalten der Funktion erkennt.