Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beim Alternativtest berechnen

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Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beim Alternativtest berechnen

Bei einem auch Alternativtest können zwei Fehler auftreten. Bei einem Fehler 1. Art wird die Nullhypothese abgelehnt, obwohl sie zutrifft. Bei einem Fehler 2. Art wird die Nullhypothese angenommen, obwohl sie nicht zutrifft. Ein Alternativtest ist ein Hypothesentest, bei dem man zwischen zwei Alternativen, Vermutungen oder Annahmen entscheiden muss.

In diesem Video zum Thema Fehler 1. Art beim Alternativtest erklären wir dir, wie du die Irrtumswahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art bestimmst. Un zwar für den Fall, dass die zugehörige Entscheidungsregel und der tatsächliche Wert des Testparameters vorgegeben wurden.

Aufgabe zum Fehler 1. Art

Die Ausschussquote $p$ der LED-Produktion in einer Fabrik wurde mittels eines Alternativtests mit Nullhypothese $H_0:p\geq 0{,}01$ untersucht. Es wurde dazu eine Stichprobe von 400 Lampen entnommen und die folgende Entscheidungsregel festgelegt:

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn mindestens zwei der 400 Testlampen defekt sind.

Bestimme mittels stochastischer Tabellen die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, wenn die tatsächliche Ausschussquote bei $0{,}02$ liegt.

Hintergrundwissen und Lösungsansatz

Bei einem Alternativtest können zwei Fehler auftreten:

  • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie zutrifft.
  • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie nicht zutrifft.

Im vorliegenden Fall heißt das:

Ein Fehler 1. Art tritt ein, wenn höchstens eine der 400 LED-Lampen defekt ist (so dass laut Entscheidungsregel die Nullhypothese $p\geq 0{,}01$ abgelehnt wird), obwohl die Ausschussquote aber tatsächlich mindestens $1\,\%$ beträgt (d. h. die Nullhypothese $p\geq 0{,}01$ trifft zu).

Ein Fehler 2. Art tritt ein, wenn mindestens zwei der 400 LED-Lampen defekt sind (so dass laut Entscheidungsregel die Nullhypothese $p\geq 0{,}01$ angenommen wird), obwohl die Ausschussquote aber tatsächlich weniger als $1\,\%$ beträgt (d. h. die Nullhypothese $p\geq 0{,}01$ ist falsch).

Die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art wird durch das Signifikanzniveau des Hypothesentests begrenzt, kann also üblicherweise nicht sehr groß werden. Die Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten folgt meistens auf eine Teilaufgabe, bei der die Entscheidungsregel zum Hypothesentest ermittelt wird.

Strategie: Wahrscheinlichkeiten des Ablehnungsbereichs nachschlagen

Ein Fehler 1. Art ist eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese. Dessen Wahrscheinlichkeit ist also die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs, der durch die Entscheidungsregel festgelegt ist. Laut Aufgabenstellung wird die Nullhypothese angenommen, wenn mindestens zwei der 400 Testlampen defekt sind. Demzufolge wird sie abgelehnt, wenn höchstens eine der 400
Lampen defekt ist. Das heißt, der Ablehnungsbereich ist $\{0;1\}$.

Ist $X$ die Anzahl der defekten LED-Lampen in der Stichprobe, so ist die Wahrscheinlichkeit einer Ablehnung von $H_0$
$P\left(X\in\{0;1\}\right)=P(X\leq 1)$.

Dabei wird $X$ als binomialverteilt mit Parametern $n=400$ und $p=0{,}02$ angenommen, denn die tatsächliche Ausschussquote ist laut Aufgabenstellung $p=0{,}02$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit findest du in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung mit Parameter $n=400$, und zwar in der Spalte für $p=0{,}02$, die hier rot markiert ist:

In der Zeile zu $k=1$ findest du den Wert 0,0028. Das heißt, es gilt $P(X\leq 1)\approx 0{,}0028=0{,}28\,\%$.

Lösung

Ein Fehler 1. Art tritt etwa mit Wahrscheinlichkeit $0{,}28\,\%$ auf.

PS: Wie du die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art berechnest, erfährst du im entsprechenden Video.

 

 
 
 
 

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