Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

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Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Aufgabenbeispiel

Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen ist ein Klassiker der Integralrechnung. Kennzeichnend für diesen Aufgabentyp ist die Vorgabe zweier Funktionsterme; berechnet werden soll die Fläche, die von diesen beiden Graphen eingeschlossen wird.
Hierzu ein Aufgaben-Beispiel:
Gegeben sind die Graphen der Funktionen $f(x)=-\frac 67x^2+\frac{24}7x$ und $g(x)=\frac 37x$. Berechne die Fläche, die von diesen beiden Graphen im ersten Quadranten eingeschlossen wird.

Lösungsansatz

Bei den beiden Funktionsgraphen handelt es sich um eine Parabel und um eine Gerade, die einander schneiden und so eine bestimmte Fläche zwischen sich einschließen. Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen funktioniert ähnlich wie die Berechnung der Fläche unter einem Graphen (s. hierzu das Video Bestimmtes Integral berechnen). Dort wird die gesuchte Fläche von der $x$-Achse begrenzt, während hier der Graph einer zweiten Funktion die Fläche nach unten begrenzt.

Was bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen noch hinzukommt, ist die Berechnung der linken und rechten Begrenzung der Fläche, d. h. der Schnittstellen von $G_f$ und $G_g$. Somit gliedert sich die Lösung in drei Schritte: Schnittstellen berechnen, Integral aufstellen und Integral berechnen.

Schritt 1: Schnittstellen berechnen

Du berechnest die Schnittstellen zweier Graphen, indem du die zugehörigen Funktionsterme gleichsetzt und nach $x$ auflöst.

$f(x)=g(x)\\
\Leftrightarrow\ -\frac 67x^2+\frac{24}7x=\frac 37x \quad|\;-\frac 37x\\
\Leftrightarrow\ -\frac 67x^2+3x=0 \quad|\;-\frac 37x\text{ausklammern}\\
\Leftrightarrow\ -\frac 37x(2x-7)=0\\
\Leftrightarrow\ x=0\text{ oder }x=3{,}5
$

Das liefert in unserem Fall beiden $x$-Werte $x = 0$ und $x=3{,}5$.
Diese beiden Stellen begrenzen die Fläche nach links und rechts, d. h. wir werden sie im nächsten Schritt als untere und obere Integrationsgrenze einsetzen.

Schritt 2: Integral aufstellen

Um die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ zu bestimmen, benötigst du zunächst die Differenz der oberen und der unteren Funktion. Im Bereich zwischen $x=0$ und $x=3{,}5$ (Schnittstellen der Graphen) gilt $f(x)\geq g(x)$. Die Differenz, die wir integrieren müssen, ist also $f(x)-g(x)$. Die untere Integrationsgrenze ist die linke Begrenzung die Fläche, also nach Schritt 1 $x=0$. Die obere Integrationsgrenze ist die rechte Begrenzung der Fläche, also nach Schritt 1 $x=3{,}5$. Die gesuchte Fläche zwischen den zwei Graphen ist somit
$\int\limits_0^{3{,}5}\left(-\frac 67x^2+3x\right)\mathrm{d}x$
Schritt 3: Integral berechnen

Der Integrand im Integral am Ende von Schritt 2 ist die Funktion $h(x)=-\frac 67x^2+3x$. Wir brauchen eine Stammfunktion von $h$, um das Integral zu berechnen. Die Bestimmung einer solchen Stammfunktion wird ausführlich im Video Integrationsregeln behandelt. Die Stammfunktion lautet $H(x)=-\frac 27 x^3+\frac 32x^2$.

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist das Integral gleich dem Wert der Stammfunktion an der oberen Integrationsgrenze minus dem Wert an der unteren Integrationsgrenze.

$\int\limits_0^{3{,}5}\left(-\frac 67x^2+3x\right)\mathrm{d}x=\int\limits_0^{3{,}5}h(x)\mathrm{d}x\\
=\left[H(x)\right]_0^{3{,}5}\\
=H(3{,}5)-H(0)\\
=\left(-\frac 27\cdot {3{,}5}^3+\frac 32\cdot {3{,}5}^2\right)-\left(-\frac 27\cdot 0^3+\frac 32\cdot 0^2\right)\\
=-12{,}25+18{,}375-0\\
=6{,}125$

Lösung

Damit schließen die Graphen von $f$ und $g$ eine Fläche von $6{,}15$ Einheiten ein.

 

 
 
 
 

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