Ganzrationale Funktion: Parameterbestimmung

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Ganzrationale Funktion: Parameterbestimmung

Ganzrationale Funktionen: Typen

Die gängigste ganzrationalen Funktionen im Abitur sind die ganzrationale Funktion 2. Grades (quadratische Funktion) und die ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion). Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt. Den Grad einer solchen Funktion kannst du am höchsten Exponenten ablesen. Im Abitur häufig sind ganzrationale Funktionen 2. oder 3. Grades. Die Funktion mit der Funktionsgleichung $a^2 + bx + c$ ist für alle $a > 0$ eine nach oben geöffnete Parabel, für alle $a < 0$ eine nach unten geöffnete Parabel. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades $a^3 + bx^2$ weist für alle $a > 0$ eine runde N-Form und für alle $a < 0$ eine umgedrehte runde N-Form auf. Wie die Funktionsterme und Graphen der ganzrationalen Funktion aussehen, solltest du auswendig wissen, denn Steckbriefaufgaben zu diesem Funktionstyp werden häufig in Mathe-Klausuren und dem Abitur gestellt. [/accordion] [accordion title="Ganzrationale Funktionen: Übersicht"] Die folgende Tabelle gibt dir eine Übersicht über die wichtigsten ganzrationalen Funktionen, ihre Funktiomnsterme und das Aussehen der zugehörigen Funktionsterme.

Steckbrief-Aufgabe

Gegeben ist der Graph einer quadratischen Funktion $f$:

$G_f$ geht durch die Punkte $(-1|1)$ und $(2|1)$. Die Steigung an der Stelle $x=1$ beträgt $1$. Bestimme einen Funktionsterm für $f$.

Lösungsansatz

Im Folgenden wird gezeigt, wie du anhand des Funktionsgraphen, einem vorgegebenen Punkt und der Steigung an der Stelle $x = 1$ den Funktionsterm einer quadratischen Funktion bestimmst. Die Parameter $a$, $b$ und $c$ müssen bestimmt und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt werden. Aus den Informationen der Aufgabenstellung werden drei Gleichungen aufgestellt, die über ein eines lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten gelöst wird. Nach der Bestimmung der drei Parameter kannst du im letzten Schritt den Funktionsterm angeben.
Schritt 1: Gleichungen für Parameter aufstellen

Die Aufgabenstellung besagt, dass $f$ eine quadratische Funktion ist. Das heißt, der allgemeine Funktionsterm lautet:
$f(x)= ax^2+ bx + c$
mit geeigeneten Parametern $a$, $b$ und $c$. Gegeben sind drei Informationen, die wir uns jetzt einzelnanschauen und dann in eine Gleichung übersetzen:

  1. $G_f$ geht durch den Punkt $(-1|1)$.

    Das bedeutet: $(-1|1)$ liegt auf dem Graphen von $f$ $\Rightarrow f(-1)$. Dabei ist nach der allgemeinen Funktionsgleichung $f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c$. Wir können also in der obigen Gleichung $f(-1)$ durch $a-c+c$ ersetzen. Wir erhalten als erste Gleichung:
    $I: \quad a-b+c = 1$

  2. $G_f$ geht durch den Punkt $(2|1)$. Das bedeutet: $(2|1)$ liegt auf dem Graphen von $f$.
    $\Rightarrow f(-1)$. Dabei ist laut der allgemeinen Funktionsgleichung:
    $f(2)=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=4a+2b+c$. Wir können also in der obigen Gleichung $f(2)$ ersetzen durch $4a + 2b + c$. Wir erhalten unsere zweite Gleichung:
    $II. \quad 4a+2b+c=1$
  3. Die Steigung an der Stelle $x=1$ beträgt $1$. Das bedeutet: die erste Ableitung von $f$ hat bei $x=1$ den Wert $1\Rightarrow f'(1)=1$. Nach den Ableitungsregeln bedeutet das für die allgemeine Funktionsgleichung:
    $f'(x)=2ax+b\Rightarrow f'(1)=2a+b$. Wir können in der obigen Gleichung $f'(1)$ durch $2a+b$ ersetzen. Und damit erhalten wir unsere dritte Gleichung:
    $III. \quad 2a+b=1$

Schritt 2: Gleichungssystem lösen

Im letzten Schritt wurden drei Gleichungen für die Parameter $a$, $b$ und $c$ hergeleitet. Zusammen bilden sie ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das du wie folgt löst:

I. $a – b + c$ $=1$
II: $4a + 2b + c$ $=1$
III. $2 a + b$ $=1$
$II-I:$ $3a+3b$ $=0$
$3 \cdot III:$ $6a + 3b$ $=3$
$3 \cdot III-(II-I)$ $a$ $=3$

$\Leftrightarrow a=1$

Einsetzen von $a=1$ in III liefert $2+b=1 \Rightarrow b=-1$. Mit $a=1$ und $b=-1$ liefert I: $1-(-1)+c=1 \Rightarrow c=-1$.

Das sind also die gesuchten Parameter für den Funktionsterm $ax^2+bx+c$ von $f$.

Lösung

$f(x)=x^2 -x -1$

 

 
 
 
 

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