Gegenereignis und Gegenwahrscheinlichkeit

Das Gegenereignis berechnest du mithilfe einer der wichtigen Grundformeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus der Mittelstufe. Das ist die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses.

Beispielaufgabe

Ein geübter Darts-Spieler trifft die Dreifach-Zwanzig mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %. Ein zweiter Spieler wettet darauf, dass der erste mit einem einzigen Wurf die Dreifach-Zwanzig nicht treffen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der zweite Spieler die Wette?

Zu den aus der Mittelstufe bekannten Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in praktisch jeder Abiturprüfung benötigt werden, gehören

• das Gegenereignis (das wir ja hier behandeln)
• die Laplace-Formel und
• Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

In der vorliegenden Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit gefragt, dass der geübte Darts-Spieler nicht treffen wird. Das Stichwort „nicht“ deutet dabei darauf hin, dass hier das Gegenereignis gefragt ist.

Lösungsstrategie: Formel für das Gegenereignis anwenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist vorgegeben:
$P$ (Spieler trifft)$= 70\;\%=0{,}7$.

Wenn $A$ ein Ereignis ist und $\overline{A}$ das zugehörige Gegenereignis, dann lautet die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit:
$P(\overline{A})=1-P(A)$.

Die Formel gilt übrigens auch, wenn man $A$ und $\overline{A}$ vertauscht: $P(A)=1-P(\overline{A})$

In unserem Fall setzen wir also
$A$: „Spieler trifft“ und dementsprechend
$\overline{A}$: „Spieler trifft nicht“.

Somit liefert uns das eingesetzt in die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit:
$P\,(Spieler\, trifft \, nicht)\\
= 1 -P(Spieler \, trifft)\\
=1-0{,}7\\
=0{,}3$

Lösung

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt $0{,}3$, also $30\;\%$.