Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor bestimmen

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Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor bestimmen

Eine Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor bestimmen ist der einfachste Fall des Klassikers in der Geometrie: die Bestimmung einer Geradengleichung.
Ist im Abitur die Angabe einer Gerade gefragt, so ist damit (sofern nichts anderes vorgegeben wird) immer eine Parametergleichung in Punkt-Richtungs-Form gemeint. Das ist eine Gleichung der Form $\vec{X}=\left(\begin{array}{c}p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+\lambda\cdot\vec{v},\quad\lambda\in\mathbb{R}$.
Dabei sind $(p_1|p_2|p_3)$ die Koordinaten eines Punktes auf der Gerade und $\vec{v}$ ein Vektor, der die Richtung der Gerade angibt. Schau dir hierzu am besten den zum Video passenden 3D-Lösungscoach an, der diesen Sachverhalt mit einer interaktiven 3D-Grafik veranschaulicht.

Sehen wir uns zum Thema Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor bestimmen eine Beispielaufgabe an:
Eine Lichtquelle im Punkt $(3|0|1)$ strahlt Licht in Richtung des Vektors $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\vec{v},\quad\lambda\in\mathbb{R}$ aus.
Auf welcher Gerade verläuft der Lichtstrahl?

Bei dieser Aufgaben sind die erforderlichen Daten zur Aufstellung einer Geradengleichung in der Aufgabenstellung angegeben und du brauchst sie nur noch einzusetzen, das heißt, alles was du tun musst ist den vorgegebenen Punkt und den Richtungsvektor in die Punkt-Richtungs-Form einzusetzen.

Der Punkt $P=(3|0|1)$ liegt auf der gesuchten Geraden, also kann man in der obigen Parametergleichung dessen Koordinaten $p_1=3$, $p_2=0$ und $p_3=1$ einsetzen. Das ergibt
$g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\vec{v},\quad\lambda\in\mathbb{R}$.

Im nächsten Schritt setzt du den vorgegebenen Richtungsvektor $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\vec{v},\quad\lambda\in\mathbb{R}$ ein und erhältst:
$g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\1\end{array}\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}$.
Der Lichtstrahl verläuft entlang dieser Gerade.

Tipp: In der Aufgabenstellung wurde keine Bezeichnung für die gesuchte Gerade vorgegeben oder verlangt. Der hier gewählte Buchstabe „g“ kann aber in weiteren Teilaufgaben als nützliche Abkürzung verwendet werden, statt immer von „der gesuchten Gerade“ zu sprechen.

 

 
 
 
 

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