Gleichung der Gerade durch zwei Punkte bestimmen

Wenn die Gleichung einer Gerade durch zwei Punkte gefragt ist und kein Richtungsvektor angegeben ist, dann musst du zunächst den Richtungsvektor berechnen und dann in die Punkt-Richtungs-Gleichung einsetzen. Der einfachere Fall, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor angegeben ist, wird im Video Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor behandelt. Wenn im Mathe-Abi oder in der Klausur die Angabe einer Geradengleichung gefragt ist, dann ist, sofern nichts anderes vorgegeben wird, damit eine Parametergleichung in Punkt-Richtungs-Form gemeint. Sie hat die Form $\vec{X}=\left(\begin{array}{c}p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+\lambda\cdot\vec{v},\quad\lambda\in\mathbb{R}$. Dabei sind $(p_1|p_2|p_3)$ die Koordinaten eines Punktes auf der Gerade und $\vec{v}$ ein Vektor, der die Richtung der Geraden angibt. Der Lösungscoach zum Video zeigt dir diesen Sachverhalt anschaulich in einer interaktiven 3D-Grafik.
Beim Fall einer Gerade durch zwei Punkte musst du einen geeigneten Richtungsvektor aus den beiden vorgegebenen Punkten bestimmen.
Hierzu ein Aufgaben-Beispiel:
Ein U-Boot bewegt sich geradlinig vom Punkt $(1|1|{-1})$ zum Punkt $(2|2|{-3})$. Bestimme eine Gleichung der Gerade, entlang der das U-Boot fährt.
Diese Aufgabenstellung bedeutet nichts anderes als dass eine Gerade durch zwei Punkte angegeben werden soll.
Schritt 1: Richtungsvektor berechnen
Als Richtungsvektor eignet sich der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ der beiden angegebenen Punkte auf der Gerade. Du erhältst ihn, indem du den Ortvektor des ersten Punktes (also $\overrightarrow{OP}$) vom Ortsvektor des zweiten Punktes abziehst:
$
\begin{align*}
\vec{v}=\overrightarrow{PQ}&=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\\
&=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\-3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\-1\end{array}\right)\\
&=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\2\end{array}\right).
\end{align*}
$

Schritt 2: Punkt und Richtungsvektor in Punkt-Richtungs-Form einsetzen
Der Punkt $P=(1|1|{-1})$ liegt auf der gesuchten Geraden, also kann man in der obigen Geradengleichung dessen Koordinaten $p_1=1$, $p_2=1$ und $p_3=-1$ einsetzen. Das ergibt
$g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\-1\end{array}\right)+\lambda\cdot\vec{v},\quad\lambda\in\mathbb{R}$
Jetzt fehlt noch der eben berechnete Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\2\end{array}\right)$. Einsetzen liefert
$g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\-2\end{array}\right),\quad\lambda\in\mathbb{R}$

Das U-Boot bewegt sich entlang der Gerade $g$ mit dieser Gleichung.