Globale Extrema bestimmen

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Globale Extrema bestimmen

Was sind globale Extrema?

Extremwerte von Funktionen zu bestimmen gehört zum Standardprogramm in so gut wie jeder Abiturprüfung. Sollen nicht nur lokale, sondern globale Extrema bestimmt werden, bestimmst du zunächst die lokalen Extrempunkte mithilfe einer Monotonieuntersuchung (s. hierzu das Video Extrempunkte berechnen über Monotonie) und entscheidest dann für jedes lokale Extremum einzeln, ob es sich um ein globales Extremum handelt oder nicht. Globale Extrema zeichnen sich dadurch aus, dass die Funktion an keiner Stelle höhere bzw. niedrigere Funktionswerte aufweist:

Dieser Umstand lässt sich meistens über den Steigungsverlauf der Funktion und die Lage der anderen Extrema begründen.
Ist z. B. ein lokales Maximum nicht global, dann liegt typischerweise eienr der beiden Fälle vor:

  1. Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty$ oder $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\infty$. Das bedeutet, die Funktion ist nach oben unbeschränkt.
  2. Es gibt ein weiteres globales Maximum mit einem noch größeren Funktionswert.

Analoges gilt für lokale Minima.

Aufgaben-Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=\dfrac{16}{27}x^4-\dfrac 83x^2$.
Bestimme alle globalen Extrema des Graphen von $f$.

Lösungsansatz

Zunächst wird die 1. Ableitung der Funktion bestimmt. Alle lokalen Maximalstellen und Minimalstellen sind Nullstellen von $f’$, also werden als nächstes die Nullstellen der 1. Ableitung berechnet. Im nächsten Schritt untersuchst du das Monotonieverhalten mithilfe einer Vorzeichenuntersuchung von $f’$ und ermittelst so die lokalen Tiefpunkte und Hochpunkte. Im letzten Schritt musst du prüfen, ob die lokalen Extremstellen globale Extrema sind. Das kannst du prüfen, indem du das Verhalten von $G_f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs, also für $x\to\infty$ und für $x\to-\infty$, untersuchst. Dabei kannst du festzustellen, ob $f$ nach oben oder nach unten unbeschränkt ist. Ist der Graph von $f$ nach oben unbeschränkt, gibt es keine globalen Maxima, ist er nach unten unbeschränkt, gibt es keine globalen Minima.
Schritt 1: Lokale Extrempunkte bestimmen

Um festzustellen, ob die Funktion globale Extrema hat, bestimmst du znächst die lokalen Extrema mithilfe einer Monotonieuntersuchung.
Dazu bestimmst zu im ersten Schritt die 1. Ableitung der Funktion $f$:
$f'(x)= \frac{64}{27}x^3-\frac{16}3x$

Alle Minima und Maxima sind Nullstellen der Ableitung, also bestimmst du diese jetzt:

$f'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{64}{27}x^3-\frac{16}3x=0$

Es ergibt sich:
$x_1 = 0$ $x_2 = -\frac32$ und $x_3 = \frac32$
Das Monotonieveralten der Funktion bestimmst du dann mithilfe einer Vorzeichenuntersuchung von $f’$. Es ergibt sich das folgende Bild:

Aus dieser Übersicht geht hervor, dass $G_f$ bei $x=-1{,}5$ und $x=1{,}5$ jeweils ein lokales Minimum und bei $x=0$ ein lokales Maximum hat. Die zugehörigen Funktionswerte sind $-3$ und $0$.

Die lokalen Maxima sind also die Tiefpunkte $(-1{,}5|{-}3)$ und $(1{,}5|{-}3)$ sowie der Hochpunkt $(0|0)$.

Schritt 2: Globale Extrema begründen

Jetzt ermittelst du das Verhalten von $G_f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs, also für $x\to\infty$ und für $x\to-\infty$, um festzustellen, ob $f$ nach oben oder nach unten unbeschränkt ist. Denn wenn $f$ nach oben unbeschränkt ist, dann gibt es keine globalen Maxima und wenn $f$ nach unten unbeschränkt ist, dann gibt es keine globalen Minima.

Im vorliegenden Fall gilt:

$\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)= \infty$.

Das bedeutet, die Funktion ist nach oben unbeschränkt und hat daher keine globalen Maxima.

Aus dem Monotonieverhalten geht hervor, dass die Funktion nach unten beschränkt ist. Somit ist ein lokales Minimum nur dann nicht global, wenn ein anderes lokales Minimum einen kleineren Funktionswert hat. In diesem Fall haben beide lokalen Minima denselben Funktionswert, also sind beide globale Minima.

Lösung

$G_f$ hat globale Minima in den Punkten $(-1{,}5|{-}3)$ und $(1{,}5|{-}3)$, aber kein globales Maximum.

 

 
 
 
 

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