Graphisches Ableiten einer Funktion

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marie_mx am 29.07.2018

kurz und anschaulich, das Video. top!

 

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Graphisches Ableiten einer Funktion

Was bedeutet graphisch ableiten?

Graphisches Ableiten bedeutet, dass du anhand eines vorgegebenen Graphen die zugehörige Ableitung graphisch bestimmen kannst, ohne den Funktionsterm zu kennen.
Bei Aufgaben zum graphischen Ableiten wird dein Grundwissen über den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung (genauer gesagt: die geometrische Bedeutung der Ableitung) abgefragt. Was du zu diesem Thema wissen musst, lässt sich wie folgt zusammenfassen:
Der Graph von $f$ …
… steigt $\rightarrow$ $f’$ ist positiv.
… fällt $\rightarrow$ $f’$ ist negativ.
… hat einen Wendepunkt $\rightarrow$ $f’$ hat einen Extrempunkt.
… ist rechtsgekrümmt $\rightarrow$ $f’$ fällt.
… ist linksgekrümmt $\rightarrow$ $f’$ steigt.
Beispiel-Aufgabe

Im Folgenden ist der Graph der Funktion $f$ abgebildet. Skizziere in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion $f’$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Graphisches Ableiten funktioniert in drei Schritten: Im ersten Schritt suchst du alle Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) und Terrassenpunkte auf dem vorgegebenen Graphen und markierst die entsprechenden Stellen auf der $x$-Achse. Bei unserem Beispielgraphen gibt es keine Tiefpunkte (lokale Minima) und Terrassenpunkte, sondern nur einen Hochpunkt. Diese Stelle ist die einzige, wo $G_f$ eine waagerechte Tangente hat. Das bedeutet für den Graphen der gesuchten Ableitungsfunktion, dass sie an diesem Punkt die einzige Nullstelle hat.

Im zweiten Schritt schaust du dir das Monotonieverhalten an. Du bestimmst, wo die gesuchte Ableitungsfunktion positiv ist und wo negativ. Das erkennst du an der Steigung des vorgegebenen Graphen. Dort wo dieser ansteigt, verläuft der Graph der Ableitung oberhalb der $x$-Achse. Fällt der vorgegebene Graph, so verläuft $f’$ unterhalb der $x$-Achse.

Im dritten und letzten Schritt musst du noch das Krümmungsverhalten berücksichtigen. Das gibt Auskunft darüber, wo der Grpah der Ableitungsfunktion steigt und fällt. Dort, wo der vorgegebene Graph rechtsgekrümmt ist, fällt der Graph der Ableitungsfunktion. Bei Übergang zur Linkskrümmung hat der Graph der Ableitung einen Tiefpunkt. Dort, wo $f$ linksgekrümmt ist, steigt der Graph der Ableitungsfunktion. Mit diesen gesammelten Informationen kannst du nun die Ableitungsfunktion zeichnen.

Wie du anhand der Schrittfolge siehst, ist graphisches Ableiten nichts anderes als die Nutzung des Wissens, das du über den Zusammenhang einer Funktion, ihrer Ableitung und der graphischen Bedeutung der Ableitung hast.

Lösung

Der Graph der Ableitungsfunktion $f’$ wird durch die blaue Kurve dargestellt:

 

 
 
 
 

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